Fysik

Henfaldskonstanten

06. januar 2023 af Stevenfeldt - Niveau: A-niveau

Hvis sandsynligheden for henfald er 1%, så er y=b*a^x eller N=No*e^-kx
Hvor a=0,99
Er k så 1%? Da der jo også gælder, at A=k*N
Men e^-0,01 er jo ikke præcis lige med 0,99 bare tæt på og jo større sandsynligheden er, jo længere er e^-k fra. Hvordan kan der være? Er det fordi e altid kun er på et vidst antal cifre i en lommeregner?

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. januar 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} A &= {\color{Red} -}k\,N \end{align*}$

Lommeregnere og CAS har rigeligt med decimaler til denne slags beregninger.

Nogle logaritme-regneregler (og en enkelt potens-rgn.regel):

$\begin{align*} a^t=e^{-k\,t} \Rightarrow \left ( a^t \right )^{\frac{1}{t}} &= \left ( e^{-k\,t} \right )^{\frac{1}{t}}\;,\;t\neq 0 \\ a &= e^{-k} &,\;\left ( a^r \right )^s=a^{r\,s}\qquad\quad\;\;\, &&,\;\textup{formel (20)} \\ -k &= \ln(a) &,\;y=\ln(x)\Leftrightarrow x=e^y &&,\;\textup{formel (85)} \\\\ \textup{eller: } \\ a^t=e^{-k\,t} \Rightarrow \ln\bigl(a^t\bigr) &= \ln\bigl(e^{-k\,t}\bigr) \\ t\,\ln(a) &= -k\,t\,\ln(e) &,\;\ln\left (a^r\right )=r\cdot \ln(a)\quad\, &&,\;\textup{formel (89)} \\ \ln(a) &= -k &,\;\ln(e)=1\qquad\qquad\;\; &&,\; \textup{formel (86)} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. januar 2023 af ringstedLC

Med fx:

$\begin{align*} - k &= \ln(0.99) \\ k &= 0.0100503358...\;{\color{Red} > }\;1-0.99 \\\\ -k &= \ln(0.5) \\ k &= 0.6931471805...\;{\color{Red} \gg }\;1-0.5 \\\\ -k &= \ln(0.25) \\ k &=1.3862943611...\;{\color{Red} \ggg }\;1-0.25 \end{align*}$

fremgår din fejlberegning tydeligt.

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. januar 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} \textup{Eksakt omregning af } a^t \rightarrow e^{-k\,t} &: \qquad a^t &= e^{\ln(a)\,t}\qquad\;\, \\\\ \textup{og den "anden" vej } e^{-k\,t} \rightarrow a^{t} &: \quad e^{-k\,t} &= \bigl(e^{-k}\bigr)^{t}=a^{t} \end{align*}$

Svar #4
07. januar 2023 af Stevenfeldt

Jeg har svært ved at se, hvordan det svarer på mit spørgsmål? Hvorfor er der en fejlberegning?

Svar #5
07. januar 2023 af Stevenfeldt

Er din pointe at k ikke er lige med (1-a) ? Hvorfor så ikke det? Hvad er det så?

Det vil sige at k ikke er sandsynligheden for henfald?

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. januar 2023 af mathon

Sandsynligheden for spaltning pr. tidsinterval
er:
$\small \frac{1}{\Delta t}\cdot \frac{\left | \Delta N \right |}{N(t)}=k\qquad \textup{for }\Delta t\rightarrow 0$

Svar #7
07. januar 2023 af Stevenfeldt

Hvorfor er det ikke det samme som (1-a)?

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. januar 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textup{Fordi:}\\&k=-\ln(a) \end{array}$

Svar #9
08. januar 2023 af Stevenfeldt

Jeg tænker mere sådan rent forståelsesmæssigt. Hvis sandsynligheden for henfald er 1% (og dermed a=0,99) og der jo også gælder at A=k*N - dvs at k angiver hvor stor en del af kernerne henfalder per sekund, og det er jo så også sandsynligheden for, at en vilkårlig kerne henfalder - hvorfor er k så ikke lige med de 1%?

Det ville jo give mening, hvis k var lige med 1-a, men sådan er det tilsyneladende ikke. Hvordan kan det være?

Det betyder jo så at sandsynligheden for henfald ikke er det samme som sandsynligheden for at en vilkårlig kerne henfalder i det næste sekund. Hvorfor ikke?

Skriv et svar til: Henfaldskonstanten

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.