Matematik

Ubestemte integraler

16. februar 2023 af cecilie1606 - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg har forsøgt at løse disse tre opgaver.

Jeg er ikke sikker på at det er korrekt, da jeg ikke har lavet denne type opgave før.

Er der nogle som kan hjælpe mig?

På forhånd tak for hjælpen.

Vedhæftet fil: Opgave 11.png

Svar #1
16. februar 2023 af cecilie1606

Opgave 1

Vedhæftet fil:Opgave 11 - 1.png

Svar #2
16. februar 2023 af cecilie1606

Opgave 2

Vedhæftet fil:Opgave 11 - 2.png

Svar #3
16. februar 2023 af cecilie1606

Opgave 3

Vedhæftet fil:Opgave 11 - 3.png

Brugbart svar (1)

Svar #4
16. februar 2023 af Anders521

#1 Opgave 1 er forkert.

Fra 1. til 2.linje er der ingen forskel, pånær manglen af en parentes i den første integrand; Fra 2. til 3. linje er det uvist, hvilken regneregl der bruges. Tilsyneladende menes der, at ∫(4x +3)dx = ∫4x dx + 3 og 2·∫(2 - 2x) dx = 2·2 - ∫2x dx, hvilket er forkert, idet der ses bort fra distributionsegenskaben af integralet og multiplikationen af et tal på en to-leddet størrelse.

∫(4x + 3) dx + 2·∫(2 - 2x) dx = ∫(4x + 3) dx + ∫2·(2 - 2x) dx = ∫ ( 4x + 3 + 2·(2 - 2x) ) dx = ∫ ( 4x + 3 + 4 - 4x) dx = ∫ 1 dx. = x + C, hvor C∈R

Brugbart svar (1)

Svar #5
16. februar 2023 af Soeffi

#0. Indsætter billede.

$\int (x^2+1)\;dx-\int (x+1)^2\;dx=$

$\int (x^2+1)- (x+1)^2\;dx=$

$\int x^2+1- x^2-2x-1\;dx=$

$\int -2x\;dx=$

$-x^2+C$

Svar #6
16. februar 2023 af cecilie1606

#4
#1 Opgave 1 er forkert.

Fra 1. til 2.linje er der ingen forskel, pånær manglen af en parentes i den første integrand; Fra 2. til 3. linje er det uvist, hvilken regneregl der bruges. Tilsyneladende menes der, at ∫(4x +3)dx = ∫4x dx + 3 og 2·∫(2 - 2x) dx = 2·2 - ∫2x dx, hvilket er forkert, idet der ses bort fra distributionsegenskaben af integralet og multiplikationen af et tal på en to-leddet størrelse.

∫(4x + 3) dx + 2·∫(2 - 2x) dx = ∫(4x + 3) dx + ∫2·(2 - 2x) dx = ∫ ( 4x + 3 + 2·(2 - 2x) ) dx = ∫ ( 4x + 3 + 4 - 4x) dx = ∫ 1 dx. = x + C, hvor C∈R

Okay, tak det giver god mening.

Må jeg spørge hvad "C∈R" betyder?

Brugbart svar (1)

Svar #7
16. februar 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} \int \!1\,\,\mathrm{d}x &= x+C\,,\;C\in \mathbb{R} \end{align*}$

Int.-konstanten C tilhører mængden af reelle tal.

Man bør angive en beskrivelse/definition af en nyoprettet størrelse.

Brugbart svar (0)

Svar #8
16. februar 2023 af ringstedLC

2. Første linje har en tastefejl:

$\begin{align*} \int \!x\cdot \bigl(x^2-3\bigr)\,\mathrm{d}x-\int \!\bigl(x^3{\color{Red} +}\;3x\bigr)\,\mathrm{d}x \end{align*}$

og du gør ikke integranden kortere og derved nemmere at integrere. Saml de to integraler til ét, gang x ind i parentesen og reducér.

Desuden:

- Der er ingen "produktregel" for integraler som den du bruger.

- En flerledet integrand bør sættes i parentes (da dx skal betragtes som en faktor):

$\begin{align*} \int \!x^2-3x\,\mathrm{d}x &\;\textup{betyder} \int \!x^2\;\textup{mht.\,til hvad}-3x\,\mathrm{d}x \\ \int \!\bigl(x^2-3x\bigr)\,\mathrm{d}x &= \int \!x^2\,\mathrm{d}x-\int \!3x\,\mathrm{d}x \end{align*}$

- Bla. ved manglende rutine, er det altid en god idé at gøre prøve ved at differentiere sit resultat og se om det giver den oprindelige integrand.

Svar #9
18. februar 2023 af cecilie1606

#8
2. Første linje har en tastefejl:

$\begin{align*} \int \!x\cdot \bigl(x^2-3\bigr)\,\mathrm{d}x-\int \!\bigl(x^3{\color{Red} +}\;3x\bigr)\,\mathrm{d}x \end{align*}$

og du gør ikke integranden kortere og derved nemmere at integrere. Saml de to integraler til ét, gang x ind i parentesen og reducér.

Desuden:

- Der er ingen "produktregel" for integraler som den du bruger.

- En flerledet integrand bør sættes i parentes (da dx skal betragtes som en faktor):

$\begin{align*} \int \!x^2-3x\,\mathrm{d}x &\;\textup{betyder} \int \!x^2\;\textup{mht.\,til hvad}-3x\,\mathrm{d}x \\ \int \!\bigl(x^2-3x\bigr)\,\mathrm{d}x &= \int \!x^2\,\mathrm{d}x-\int \!3x\,\mathrm{d}x \end{align*}$

- Bla. ved manglende rutine, er det altid en god idé at gøre prøve ved at differentiere sit resultat og se om det giver den oprindelige integrand.

Okay, tak.

Har forsøgt at løse den igen, men er stadig ikke helt sikker på om det er rigtigt forstået.

(se vedhæftet billede)

Vedhæftet fil:Opgave 11.2.png

Brugbart svar (1)

Svar #10
18. februar 2023 af Anders521

#9 Det er meningen med opgaven at gøre integralerne korterne. Fra 1. til 2. linje går du fra to integraler til fire. Prøv at gå fra to til et integrale.

$\int x\cdot(x^2-3) \, \textup{d}x - \int (x^3+3x) \, \textup{d}x \\ = \int \bigg( x\cdot(x^2-3) - (x^3+3x) \bigg)\, \textup{d}x \\ =\int \bigg( x^3-3x - x^3-3x \bigg)\,\textup{d}x \\ =\int -6x\, \textup{d}x \\ = -6\cdot\int x \, \textup{d}x\\ =-3x^2+C,\,C\in\mathbb{R}$

Svar #11
18. februar 2023 af cecilie1606

#10
#9 Det er meningen med opgaven at gøre integralerne korterne. Fra 1. til 2. linje går du fra to integraler til fire. Prøv at gå fra to til et integrale.

$\int x\cdot(x^2-3) \, \textup{d}x - \int (x^3+3x) \, \textup{d}x \\ = \int \bigg( x\cdot(x^2-3) - (x^3+3x) \bigg)\, \textup{d}x \\ =\int \bigg( x^3-3x - x^3-3x \bigg)\,\textup{d}x \\ =\int -6x\, \textup{d}x \\ = -6\cdot\int x \, \textup{d}x\\ =-3x^2+C,\,C\in\mathbb{R}$

Okay, på den måde. Tak det giver god mening :)

Men må jeg spørge hvorfor x^3 + 3x bliver til x^3 - 3x i 3 linje?

Brugbart svar (0)

Svar #12
19. februar 2023 af Anders521

#11 Det skyldes at der i 2. linje er et "minus-parentes". Frem for, at der står - (x³ + 3) kan der i stedet stå udtrykket (-1)· (x³ + 3). Ganger du tallet -1 på hvert led inde i parentesen får du (-1)·x³ +(-1)· 3x, hvilket er det samme som -x³ - 3x.

Brugbart svar (0)

Svar #13
19. februar 2023 af ringstedLC

#9: Gør prøve som forslået:

$\begin{align*} F(x)=-x+C &= \int\!x\cdot (x^2-3)\,\mathrm{d}x-\int\!(x^3+3x)\,\mathrm{d}x \\ F'(x)=\Bigl(-x+C\Bigr)' &= \left (\int\!x\cdot (x^2-3)\,\mathrm{d}x-\int\!(x^3+3x)\,\mathrm{d}x \right )' \\ &= \left (\int\!-6x\,\mathrm{d}x \right )' \\ \Bigl(-x+C\Bigr)' &= \left (-\tfrac{6}{2}x^2+C \right )' \\ -1 &= -6x \end{align*}$

hvilket ikke stemmer bla. på grund af flere fejl:

- 2. linje: x forsvinder og manglende parentes/ændring af fortegn.

- 4 linje: 2x - 3x = -x, men x² - x³ ≠ -x

- 5. linje: ∫-x dx ≠ -x + C

Brugbart svar (0)

Svar #14
19. februar 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} \int\!x\cdot (x^2-3)\,\mathrm{d}x-\!\int\!(x^3+3x)\,\mathrm{d}x &= \\ \textup{Integraler samles: } \;\int \!a\,\mathrm{d}x-\!\int\!b\,\mathrm{d}x &= \int \!\bigl(a-b\bigr)\mathrm{d}x \\ \int\!\bigl(x\cdot (x^2-3)-(x^3+3x)\bigr)\,\mathrm{d}x &= \\ x\;\textup{ganges ind: }\int\!\bigl((x^3-3x)-(x^3+3x)\bigr)\,\mathrm{d}x &= \\ \textup{Parenteser h\ae ves: }\int\!\bigl(x^3-3x-x^3-3x\bigr)\,\mathrm{d}x &= \\ \textup{Integranden reduceres: }\int\!-6x\,\mathrm{d}x &= -3x^2+c \\\int\!k\,x^{a} &= \tfrac{k}{a\,+\,1}\,x^{\,a\,+\,1}\;,\;a\neq -1\quad\textup{formel (153)} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #15
19. februar 2023 af ringstedLC

Prøve:

$\begin{align*} F(x)=-3x^2+c &= \int\!x\cdot (x^2-3)\,\mathrm{d}x-\int\!(x^3+3x)\,\mathrm{d}x \\ F'(x)=\Bigl(-3x^2+c\Bigr)' &= \left (\int\!x\cdot (x^2-3)\,\mathrm{d}x-\int\!(x^3+3x)\,\mathrm{d}x \right )' \\ &= \left (\int\!-6x\,\mathrm{d}x \right )' \\\Bigl(-3x^2+c\Bigr)' &=\Bigl(-\tfrac{6}{2}x^2+c\Bigr)' \\ -6x &= -6x \\ \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #16
19. februar 2023 af Anders521

( -3x² - C )' = ( ∫ x·(x² - 3) dx - ∫(x³ + 3x) dx )' ⇔ ( -3x²)' - ( C )' = ( ∫ x·(x² - 3) dx )' - ( ∫(x³ + 3x) dx )' ⇔ -6x - 0 = x·(x² - 3) - (x³ + 3x) ⇔ -6x = x³ -3x - x³ -3x ⇔ -6x = -6x

Skriv et svar til: Ubestemte integraler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.