Logisitsk differentialligning

De første 3 spørgsmål kan klares uden at løse differentialligningen altså ved udelukkende at se på højre side af differentialligningen.

1) det sker når differentialligningen er 0 og positiv. Er den mindre end denne værdi  er f' positiv og funktionen vokser. Er den større end denne værdi er f' negativ og funktionen aftager

2 og 3) når højre side er størst mulig

Vil det sige, at ved spørgsmål er bæreevnen 8000?
Men er ikke helt med på, hvordan spørgsmål 2 og 3 kan løses udelukkende ved at kigge på differentialligningen?

ja

2) dN/dt er væksthastigheden, så den er størst nå højre side er størst.

#3 Vil det sige, at ved spørgsmål er bæreevnen 8000? Men er ikke helt med på, hvordan spørgsmål 2 og 3 kan løses udelukkende ved at kigge på differentialligningen?

De tre første spørgsmål kan besvares ved at se på differentialligningen:

a) Højre side er 0, når N = 0, eller når N = 8000 i følge produktreglen: a·b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0.

Det ses, at når 0 < N(0) < 8000, så er dN/dt > 0, det vil sige, at N(t) vokser. Da dN/dt = 0 for N(t) = 8000, så må dette betyde, at N → 8000 for t → ∞. 

Bemærkning: Hvis der er mere end 8000 fisk i søen fra starten (hvis man har sluppet flere fisk ud end der er føde til), så er (8000 - N) < 0 og dermed også dN/dt < 0. Derfor vil bestanden aftage, mens den nærmer sig 8000. N kan kun være eksakt 8000, hvis bestanden starter på den værdi.

b) Den vokser hurtigst når dN/dt har maksimum. Det ses af differentialligningen 

at højre side er et andetgrads-ploynomium i N, hvor man kan finde det N, som giver maksimum for ved hjælp af toppunkts-formlen (-b/(2a)):

Bemærkning: Man skal passe på at ikke bruge formlen for maksimumværdien af polynomiet, der jo er væksthastigheden og ikke bestandens størrelse.

c) Du skal nu finde dN/dt for denne N-værdi og får:

Det vil sige, at bestanden vokser som mest med 800 fisk om året.

#3 Vil det sige, at ved spørgsmål er bæreevnen 8000?
Men er ikke helt med på, hvordan spørgsmål 2 og 3 kan løses udelukkende ved at kigge på differentialligningen?

"M" kaldes også for steady state. Populationen vokser eksponentielt i starten, men det kan jo ikke fortsætte i al uendelighed.

Se højresiden af diff.-ligningen:  Når N går mod M, så går parentesen mod 0, tilvæksten standser og grafen når (næsten) sin vandrette asymptote y = M

2. ...hvor bestanden vokser hurtigst?:

3.

Altså 1., 2. og 3. uden at løse diff.-ligningen.

4. Her bruges din løsning og startbetingelsen:

5.

Kontroller alle fem spørgsmål ved tegne og beregne med CAS