Matematik

Geometri (Cirkler)

30. april 2023 af jch123 - Niveau: B-niveau

Jeg har prøvet i den sidste 1,5 time at løse følgende 2 opgaver:

En cirkel er givet ved ligningen: x²+ y²-4x +10y +4 = 0
1. Bestem en ligning for den linje, der tangere cirklen i (5, -1)

og næste opgave:

Afgør ved beregning, om linjen med ligningen: x +5y -25 = 0
er tangent til cirklen givet ved ligningen: x²+y²-8x +2y -9 = 0

Jeg har prøvet følgende:
omskrive til formen y = ax+b (linjer)

omskrive til cirklens ligning (x - a)² + (y - b)² = r²

Men når jeg kigger på facitliste er det helt forkert, det jeg har lavet.

PS: (Jeg har ikke lært om vektorer ).

Brugbart svar (1)

Svar #1
30. april 2023 af ringstedLC

- Bestem cirklens centrum C.

- Bestem en ligning for radien (en ret linje) gennem punktet P = (5,-1).

Brug:

$\begin{align*} a_1\,x+b_1 &\perp a_2\,x+b_2 &&\Rightarrow a_1\cdot a_2=-1 \\ t:y &= a_2\cdot (x-x_P)+y_P \end{align*}$

NB. Opdatér din profil med udd.

Brugbart svar (1)

Svar #2
30. april 2023 af ringstedLC

- Bestem cirklens centrum C og radius r.

Brug distanceformlen og undersøg om:

$\begin{align*} \textup{dist}(C,l) &= \frac{\left | a\,x_C+b\,y_C+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}=r \end{align*}$

Hvis distancen er lig med r, må linjen være en tangent.

NB. Én opgave pr. tråd, tak!

Svar #3
30. april 2023 af jch123

Jeg kom frem til i første opgave at tangentens ligning er $y=-0,8x+3$

Men facit siger at resultatet er: $3x+4y-11=0$

Brugbart svar (1)

Svar #4
30. april 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} y &= -0.8x+3 \\ 0 &= -0.8x-y+3 \\ 0 &= 3.2x+4y-12\; {\color{Red} \neq}\; 3x+4y-11 \end{align*}$

så må du have en regnefejl!

Svar #5
30. april 2023 af jch123

$x^2 +y^2 -4x+10y+4=0$

Omskriv til normal cirkelligning

$(x-2)^2 =x^2 -4x+4$ . og $(y+ 5)^2 =y^2 +25+10y$

$(x-2)^2 +(y+5)^2+4=25+4$

$(x-2)^2 +(y+5)^2 =25$

Dette vil så sige at centrum er i (2, -5)

En ret linje har ligningen: $y=ax+b$

Tangenten står vinkelret på linjen fra centrum til røringspunkt derfor hældningskoefficienten for linjen fra centrum til røringspunkt ganget med hældningen for tangenten skal give -1

$a_1= \frac{(-1-(-5))}{(5-2)}=\frac{-1+5}{3}=\frac{4}{3}=1,3333$

Dette vil sige at: $1,3333 *a_2 =-1$

Det giver at $a_2=-0,750$

Indtil videre har vi: $y=-0,750x+b$

Nu indsætter jeg P(5, -1)

$-1=-0,750*5+b$

Løser ligningen og får: $b=2,75$

Ligningen til tangenten er derfor: $y=-0,750x+2,75$

Hvordan skal dette være lig med $3x+4y-11=0$

Og til opgave 2:

Omskriv cirklens ligning til formen $(x- a)^2 + (y-b)^2 =r^2$

$(x-4)^2 = x^2 +16-8x$ og $(y+1)^2 =y^2 +1+2y$

Det bliver til

$(x-4)^2 +(y+1)^2 -9=16+1$

Som bliver til

$(x-4)^2+(y+1)^2 =26$

$\sqrt{26}=5,09902$

Radius må derfor være 5,09902

Omskriv linjens ligning til formen $y=ax+b$

$x+5y-25=0$

$-5y=x-25$

$y=0,2x+5$

Sæt tal ind i formlen du anbefalede:

$\frac{0,2*4+5-(-1))}{\sqrt{(0,2)^2+1)}}=6,667949$

Da 6,66749 > 5,09902 må det betyde at linjen ikke er tangent til cirklen, men det siger facit at den er.

Hvad har jeg lavet forkert? (Beklager det lange svar)

Brugbart svar (1)

Svar #6
30. april 2023 af ringstedLC

1. Din ligning er rigtig, men hvis du gør som i #4 kan den omskrives til facit.

Svar #7
30. april 2023 af jch123

Hvordan omskrives den til den anden form hvis man ikke kender facit?

Hvad med min måde at beregne opgave 2?

Brugbart svar (1)

Svar #8
30. april 2023 af ringstedLC

2. "Det bliver til ":

$\begin{align*} (x-4)^2+(y+1)^2 &= \left (\sqrt{26}\, \right )^{\!2} \end{align*}$

Vi har to distanceformler som bruges afhængigt af linje-ligningens form:

$\begin{align*} l:y&= a\,x+b&: \textup{dist}(C,l) &= \frac{\left |a\,x_C+b-y_C \right |}{\sqrt{a^2+1}} &&,\;\textup{formel (73), STX} \\ l:0&=a\,x+b\,y+c&: \textup{dist}(C,l) &= \frac{\left |a\,x_C+b\,y_C+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}} &&,\;\textup{formel (74), STX} \end{align*}$

Du har omskrevet til den første form og forsøgt at indsætte i formel (74). Dét kan man ikke:

$\begin{align*} l:0=x+5y-25 &&: \textup{dist}(C,l) = \frac{\left |1\cdot 4+5\cdot (-1)-25 \right |}{\sqrt{1^2+5^2}}&=r \\ &&\frac{\left |-26 \right |}{\sqrt{26}}=\frac{26}{\sqrt{26}}=\sqrt{26}&=r \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #9
30. april 2023 af ringstedLC

#7: Din ligning er korrekt, - men den kan omskrives til facit.

Formen af ligningen i facit er "smart", når du har lært om vektorer.

Svar #10
30. april 2023 af jch123

Den anden formel står slet ikke i min formelsamling. (Formel 74). Jeg har aldrig set den før og jeg kan ikke se hvordan det er den formel jeg bruger. Det ligner da formel 73 jeg bruger i mit svar.

Brugbart svar (1)

Svar #11
30. april 2023 af ringstedLC

Beklager; du indsætter rigtigt nok i formel (73), men har en fortegnsfejl:

$\begin{align*} l:0 &= x+5y-25 \\ -5y &= x-25 \\ y &= {\color{Red} -\,0.2}\,x+5 \\ \textup{dist}(C,l) &= \frac{\left | -0.2\cdot 4+5-(-1) \right |}{\sqrt{(-0.2)^2+1}} =\frac{5.2}{\sqrt{1.04}}=\frac{5\cdot 5.2}{5\cdot \sqrt{1.04}}=\frac{26}{\sqrt{25\cdot 1.04}}=\frac{26}{\sqrt{26}}=\sqrt{26} \end{align*}$

Formel (74) skulle gerne stå lige under (73)... (i STX FS).

Svar #12
01. maj 2023 af jch123

Det kan jeg godt se nu. Tak for hjælpen :)

Skriv et svar til: Geometri (Cirkler)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.