Matematik

Polynomiers division

16. september 2023 af Meilvang - Niveau: Universitet/Videregående

Hvorledes løser jeg denne opgave:

P(x)= x⁵-(1+2i)x⁴+(1-5i)x³-tx²+(t²+t)x-10-t

G(x)=x²-(1+2i)x+(1-5i)

Vis at der findes et komplex tal t så polynomiet G(x) går op i P(x)

Brugbart svar (2)

Svar #1
16. september 2023 af peter lind

Du dividerer den højeste potens med den den højeste potens af g(x). Det tal skal du så gange med g(x) og trække fra p(x). Resultatet bliver et restpolynomium, der har en lavere grad end p(x)..

Derefter behandler du restpolynomiet på samme måde

I dit tilfælde er x⁵/x² = x³

Du skal så gange g(x) med x³ og får x⁵-(1+2i)x⁴+(1-5i)x³

Dette polynomium ska du så trække fra p(x) og får -tx²+(t²+t)x-10-t til rest

Der skal du så se på forholdet mellem x² og -tx² Det bliver -t. Så skal du gange g(x) med -t og trække fra det foregående resultat. Det skal så give 0 hvis g(x) skal gå op i p(x)

Brugbart svar (1)

Svar #2
16. september 2023 af M2023

#0. Du har at P(x)/G(x) = Q(x) + R(x). Det vil sige, at du får et restled, der er 0 for en værdi af t. Du har

$\frac{P(x)}{G(x)}=\frac{x^5-(1+2i)x^4+(1-5i)x^3-tx^2+(t^2+t)x-10-t}{x^2-(1+2i)x+(1-5i)}=$

$\frac{x^5-(1+2i)x^4+(1-5i)x^3}{x^2-(1+2i)x+(1-5i)}+\frac{-tx^2+(t^2+t)x-10-t}{x^2-(1+2i)x+(1-5i)}=$

$x^3+\frac{-tx^2+(t^2+t)x-10-t}{x^2-(1+2i)x+(1-5i)}=x^3-t+\frac{t(t-2i)x-5(2+ti)}{x^2-(1+2i)x+(1-5i)}$

Restleddet er 0 når tælleren er 0, det vil sige for t = 2i, der giver: (2i)·(2i - 2i)x - 5·(2 + (2i)i) = 0.

Skriv et svar til: Polynomiers division

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.