Matematik

Vektorfunktioner

19. oktober 2023 af Natash88 - Niveau: A-niveau

Hej, jeg har følgende opgave, som jeg slet ikke ved hvordan jeg skal løse. Ville sætte pris på hjælp.

OPGAVE 3-VEKTORFUNKTIONER (1)

En Ferrari kører på en ottetals-formet racerbane. Bilens position, P, kan beskrives ved stedvektoren

OPt: = 2 cos (30pi*t))
sin(60pi*t)

0<_t_<1

hvor t er tiden målt i timer og koordinaterne er målt i km. Bilen starter til tiden 0 i positionen (2,0) og passerer startlinjen hvert 4. minut (dvs. hver gang, der er gået 1/15 time).

1. Bestem bilens hastighedsvektor v(t), Hvilken retning på figuren bevæger bilens sig i ved start?

Bilens fart svarer til længden af v(t), altså |v(t)|

2 Bestem bilens fart (i km/h) til de tidspunkter, hvor den passerer startlinjen.

3. Bestem bilens maksimale fart på en runde og angiv, hvor på banen dette sker

En omgang på banen har en samlet længde, der kan beregnes ved folgende integral

Integral fra 0 til 1/15 |v(t)|dt

4 Bestem banens samlede lengde

I er velkommen til at kigge på billedet, hvor alt er klarere.

Vedhæftet fil: 20231018_064940.jpg

Brugbart svar (1)

Svar #1
19. oktober 2023 af MentorMath

Hej,

1. Differentier vektorfunktionen, ved at differentiere de to koordinatfunktioner hver for sig.

2. Her skal vi bestemme for hvilke værdier af t, y-koordinaten til hastighedsvektoren, v(t), er lig med nul.

3. Opskriv et udtryk for accelerationsvektorfunktionen (den afledede af hastighedsvektorfunktionen, v(t)) og sæt udtrykket lig med nul - og undersøg da for hvilke værdier af t accelerationsfunktionen har maksimum og minimum.

4. Længden af hastighedsvektoren bestemmes og indsættes i overstående integral.

Skal nok lige prøve at vise yderligere, hvis det er nødvendigt :)

Svar #2
19. oktober 2023 af Natash88

Hej. Angående 1. Skal jeg lave en differential? Jeg startede med at indstille hastigheden (1/15) i punket, men jeg har lige fået udgangspunktet (2,0). Og da jeg så forsøgte at tegne den i bogens software for at vide, hvilken vej den bevægede sig, kunne softwaren ikke tegne den. Jeg tror, ??det er på grund af pi. Jeg prøvede at skrive det på et par forskellige måder, men det virkede bare ikke. Det lykkedes mig at tegne det i Geogebra, men derfra ved jeg ikke, hvordan jeg skal komme videre. Helt ærligt, jeg har været på 1 i et par timer nu, og jeg har helt givet op, så jeg er ikke engang startet på de andre afsnit.
Kan du vise i detaljer, hvad jeg skal gøre?

Brugbart svar (2)

Svar #3
19. oktober 2023 af MentorMath

Hej igen,

Det er en svær opgave - så forstår godt, hvis du bøvler med den.

Jeg er desævrre ikke den stærkeste i geogebra..

Har dog prøvet at vise det (1.), ved at differentiere funktionen (se billag). Vi ved, at vi får hastighedsvektorfunktionen ved at differentiere OP_t-funktionen, idet OP_t beskriver bilens position, som en funktion af en tidsparameter - i dette tilfælde parametren t.

Skriv endelig, hvis det ikke giver mening - så skal jeg nok gøre mit bedste for at uddybe det nærmere.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2023-10-19 014802.png

Svar #4
19. oktober 2023 af Natash88

Det giver meget mening. Mange tak. Angående 3. hvordan skriver jeg en udtryk?

Brugbart svar (2)

Svar #5
19. oktober 2023 af SuneChr

. SP 191020230203.PNG

Vedhæftet fil:SP 191020230203.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. oktober 2023 af MentorMath

Selv tak - godt at høre det giver mening!

Jeg kan godt prøve at vise hvordan udtrykket ser ud i 3. Jeg skriver med en mus, så det tager lidt tid at få skrevet ,:)

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. oktober 2023 af SuneChr

# 6
Jeg skriver med en mus, ... det var k a t t e n s .

Svar #8
19. oktober 2023 af Natash88

Hej, jeg har lige et spørgsmål. Hvorfår er det 1/60? Og hvorfår her vi skrevet 60pi?

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. oktober 2023 af SuneChr

Bilen skal køre 15 hele omgange, det giver 0 ≤ t ≤ ¹/₁₅·15
¹/₄ omgang giver t = ¹/₁₅·¹/₄ = ¹/₆₀
Faktorerne 30 og 60 er tilpasset tidsintervallet og viser, at når tiden, t = 1, har bilen kørt 15 omgange.
Banen vil være elliptisk, hvis argumentet, indholdet, i cos og i sin er det samme.

Brugbart svar (1)

Svar #10
19. oktober 2023 af MentorMath

Undskyld ventetiden.

Jeg har prøvet at vise, hvordan du kan bestemme punkt 3. Har siddet og bakset med mit CAS-program, og jeg kan simpelthen ikke finde ud af, hvad der er galt, men programmet vil ikke som jeg vil her til aften - så jeg har ikke kunne beregne en konkret værdi.

Har dog prøvet at skrive metoden alligevel (se billag). Jeg er ved at være træt, men umiddelbart, kan jeg ikke se, at der er skulle være fejl i metoden:)

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2023-10-19 030230.png

Svar #11
19. oktober 2023 af Natash88

Mange tak begge to. Jeg vil prøve at løse det nu og hvis jeg har mere spørgsmål, vil jeg forsætte med at skrive her.

Svar #12
19. oktober 2023 af Natash88

Jeg er i 2 og bruger nulreglen. Hvordan kan jeg beregen cos(60pit)?

Vedhæftet fil:20231019_070717.jpg

Brugbart svar (1)

Svar #13
19. oktober 2023 af M2023

#0. 1)

$v(t)=\begin{pmatrix} 2 cos(30 \pi t)\\ sin(60 \pi t) \end{pmatrix}'=\begin{pmatrix} -60\pi \cdot sin(30 \pi t)\\ 60\pi \cdot cos(60 \pi t) \end{pmatrix}$

$v(0)=\begin{pmatrix} -60\pi \cdot sin( 0)\\ 60\pi \cdot cos(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 60\pi \end{pmatrix}$

v(0) peger i y-aksens positive retning

2) Farten når den passerer start er lig med |v(0)| = 60π

3) Ved hjælp af Wolfram Alpha, så får man:

$max\left ( \sqrt{\left ( -60\pi \cdot sin(30\pi t) \right )^2+\left ( 60\pi \cdot cos(30\pi t) \right )^2} \right )=60\sqrt{2}\pi\approx 266,6$

Dette gælder for t = (2n + 1)/60, n = 0,1,2..., det vil sige i krydset.

$\int_{0}^{1/15} \sqrt{\left ( -60\pi \cdot sin(30\pi t) \right )^2+\left ( 60\pi \cdot cos(30\pi t) \right )^2} \;dt\approx 12,19$

Skriv et svar til: Vektorfunktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.