Matematik

bevis - differentialregning

12. juni kl. 16:12 af SkolleNørd - Niveau: B-niveau

Hej

Er der nogle, dder kan hjælpemed fortælle mig hvad jeg kan tegne i forbindlese med forklaring af to begreber i følgende spg og evt. foklare/give mig et link til at kunne bevise reglen for, hvordan man differnetiere en sammensat funktion.


Brugbart svar (0)

Svar #1
12. juni kl. 20:56 af MentorMath

Hej,

Det er ikke tilstrækkeligt, at beskrive en sekant som en "streg der rammer to punkter". Slå i stedet den præcise defintion op i din bog. Definitioner skal du ikke omformulere til egne ord, men forstå betydningen af.

Hvis du har nogen konkrete spørsmål relateret til forståelsen af forklaringen af begreberne, vil jeg selvfølgelig mere end gerne hjælpe dig videre.


Svar #2
13. juni kl. 09:09 af SkolleNørd

#1

Hej,

Det er ikke tilstrækkeligt, at beskrive en sekant som en "streg der rammer to punkter". Slå i stedet den præcise defintion op i din bog. Definitioner skal du ikke omformulere til egne ord, men forstå betydningen af.

Hvis du har nogen konkrete spørsmål relateret til forståelsen af forklaringen af begreberne, vil jeg selvfølgelig mere end gerne hjælpe dig videre.

Men kan jeg så få en forklaring på, hvad deifinitionen på differenskvotient er præcis, har prøvet at læse i mine bøger, men kan ikke finde en præcis definition. Yderligere kan du evt forklare beviset med tekst før de forskellige trin, for har ikke forstået beviset ud fra hvad jeg har læst og hørt.


Brugbart svar (0)

Svar #3
13. juni kl. 12:33 af MentorMath

Definitioner:

(*) En sekant er en ret linje (eller et linjestykke), som går gennem to punkter, beliggende på grafen for en given funktion. 

Lad f være er en kontinuert funktion (til denne brug, en funktion, vis graf er sammenhængende/uden huller), samt givet at x > x0.

Hældningen på sekanten, gennem punkterne (x0, f(x0)) og (x, f(x)), beliggende på grafen for f, udtrykkes ved brøken 

(f(x) - f(x0))/(x - x0), kaldet en differenskvotient.

(**) Hvis brøken (f(x) - f(x0))/(x - x0) har grænseværdien c (hvor c er et reelt tal) for

x → x0 (læses: x gående mod x0), siges funktionen f at være differentiabel i x = x0, hvor c = f '(x0) betegner differentialkvotienten i x0.

Se fra 13:40: https://www.youtube.com/watch?v=jeJwZlJCiUY (da det er en definition, har jeg blot brugt samme formulering).

I forhold til beviset, kan du tage udgangspunkt i:

https://www.youtube.com/watch?v=yyxbnqvTY0o

Jeg vil ikke "køre" hele beviset af, da du selv skal forstå ideen bag beviset. Hvis du tager udgangspunkt i videoen, deles beviset op i tre dele. 

Start med, til en start, udelukkende at fokusere på hvert skridt for sig. Når du er fortrolig med tanken/ideen bag hvert skridt kan du øve hele beviset.

Jeg vil stadig mere end gerne hjælpe med forståelsen, men jeg bliver nødt til at vide, hvor i beviset, du støder ind i problemer (i hvilke af de tre skridt/trin). Eksempelvis hvis du er i tvivl om hvorfor udtrykket for sekanten ser ud som det gør, eller hvis du er i tvivl om en omskrivning/regneregel.

NB: Bemærk at differentialkvotienten, udfra overstående definition, er hældningen på tangenten (grænsestillingen for sekanthældningen) i et punkt, mens begrebet afledede funktion, betegner en funktion, som for ethvert punkt på grafen for funktionen, knytter en differentialkvotient. 

Altså differentialkvotienten er et tal, mens den afledede funktion, er en funktion.


Svar #4
13. juni kl. 20:57 af SkolleNørd

#3

Definitioner:

(*) En sekant er en ret linje (eller et linjestykke), som går gennem to punkter, beliggende på grafen for en given funktion. 

Lad f være er en kontinuert funktion (til denne brug, en funktion, vis graf er sammenhængende/uden huller), samt givet at x > x0.

Hældningen på sekanten, gennem punkterne (x0, f(x0)) og (x, f(x)), beliggende på grafen for f, udtrykkes ved brøken 

(f(x) - f(x0))/(x - x0), kaldet en differenskvotient.

(**) Hvis brøken (f(x) - f(x0))/(x - x0) har grænseværdien c (hvor c er et reelt tal) for

x → x0 (læses: x gående mod x0), siges funktionen f at være differentiabel i x = x0, hvor c = f '(x0) betegner differentialkvotienten i x0.

Se fra 13:40: https://www.youtube.com/watch?v=jeJwZlJCiUY (da det er en definition, har jeg blot brugt samme formulering).

I forhold til beviset, kan du tage udgangspunkt i:

https://www.youtube.com/watch?v=yyxbnqvTY0o

Jeg vil ikke "køre" hele beviset af, da du selv skal forstå ideen bag beviset. Hvis du tager udgangspunkt i videoen, deles beviset op i tre dele. 

Start med, til en start, udelukkende at fokusere på hvert skridt for sig. Når du er fortrolig med tanken/ideen bag hvert skridt kan du øve hele beviset.

Jeg vil stadig mere end gerne hjælpe med forståelsen, men jeg bliver nødt til at vide, hvor i beviset, du støder ind i problemer (i hvilke af de tre skridt/trin). Eksempelvis hvis du er i tvivl om hvorfor udtrykket for sekanten ser ud som det gør, eller hvis du er i tvivl om en omskrivning/regneregel.

NB: Bemærk at differentialkvotienten, udfra overstående definition, er hældningen på tangenten (grænsestillingen for sekanthældningen) i et punkt, mens begrebet afledede funktion, betegner en funktion, som for ethvert punkt på grafen for funktionen, knytter en differentialkvotient. 

Altså differentialkvotienten er et tal, mens den afledede funktion, er en funktion.

Du mener vel "divideret med h og ikke x- x_0 i følgende stykke  og bør det ikke og være (f(x_0 -h) - f(x_0))/h "

Hældningen på sekanten, gennem punkterne (x0, f(x0)) og (x, f(x)), beliggende på grafen for f, udtrykkes ved brøken 

"(f(x) - f(x0))/(x - x0), kaldet en differenskvotient.)


Brugbart svar (0)

Svar #5
13. juni kl. 21:59 af MentorMath

(#4)

Godt at du spørger.

I dette tilfælde skal vi ikke dele med h, da vi jo har defineret punktet, hvori vi ønsker at bestemme tangengen, til værende (x0, f(x0)) samt defineret det variable punkt til at være (x, f(x)).

"Se fra 13:40: https://www.youtube.com/watch?v=jeJwZlJCiUY (da det er en definition, har jeg blot brugt samme formulering)."

Som skrevet i #13, vises det netop i videoen, hvorfor differenskvotientens nævner bliver (x - x0).

Hvis jeg skulle forklare det ved en skitse, ville jeg gøre det på samme måde som i videoen. I videoen er det dog forklaret meget præcist og bedre, end hvad jeg kan forklare.

_________________________________________________________________________________

I nogle matematikbøger defineres tilvæksten målt på x-aksen som h (eller Δx), fremfor (x - x0). Dette er udelukkende et definitionsspørgsmål.

I visse tilfælde er det mest fordelagtigt at kalde tilvæksten for h og i andre tilfælde mest fordelagtigt at kalde tilvæksten for (x - x0), og omvendt. Dette afhænger af udelukkende af, hvad vi ønsker at vise.

Hvis tilvæksten målt på x-aksen er defineret som h i din bog, definierer du blot punkterne til værende henholdsvis

(x0, f(x0)) og ((x0 + h), f(x0 + h)), hvorved "x-tilvæksten" bliver h. 

Det var blandt andret af denne grund, at jeg i #1 henviste til definitionen i din bog, da definitionen af et begreb ofte kan være formuleret i lidt forskellige udformninger. 


Skriv et svar til: bevis - differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.