Matematik

Differentialregning. Optimering? Nspire.

23. september 2024 af shbm - Niveau: B-niveau

Jeg har en funktion der er givet ved f(x)=90/1+29*e^-0.297*x. Jeg vil så gerne finde ud af, hvilken x-værdi der har den højeste tangenthældning. Jeg har fået Nspire til at finde den afledte funktion af denne funktion (svær at skrive herinde, men f'(x)=((775.17*(1.3458152994481)^(x))/(((1.3458152994481)^(x)+29.)^(2))) ) og forsøgt at solve for x når f'(x)=0. (Altså solve(((775.17*(1.3458152994481)^(x))/(((1.3458152994481)^(x)+29.)^(2)))=0,x) ). Dette gjorde jeg for at finde maksimumspunktet for f'(x), og altså der hvor tangenthældningen er størst. Dette skriver Nspire tilgengæld false til. Gør jeg noget helt forkert?

Opgaven er vedhæftet. jeg kigger på delopgave d.

Vedhæftet fil: afl4opgave3.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. september 2024 af Anders521

#0 Jeg indsætter et billede af opgaven

Vedhæftet fil:Logistic function.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. september 2024 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \textup{Sammenh\ae ng:}\\\\&& f(x)=y=\frac{b/a}{1+C\cdot e^{-bx}}& a,b,c,y>0\\\\&& f{\,}'(x)=y\cdot\left(b-ay \right )&f{\,}'(x)>0\\\\&& f{\,}''(x)=f{\,}'(x)\cdot \left(b-2ay \right )\\\\ \text{Maksimal }f{\,}'(x)\\\text{kr\ae ver bl.a.}\\&& f{\,}''(x)=\underset{\textbf{\color{Red}{positiv}}}{\underbrace{f{\,}'(x)}}\cdot \left(b-2ay \right )=0\\\\&& b-2ay=0\\\\&& y=\frac{1}{2}\frac{b}{a}\\ \textup{hvoraf }\\&& \frac{1}{2}b/a=\frac{b/a}{1+C\cdot e^{-bx}}\\\\&& 1+C\cdot e^{-b\cdot x}=2\\\\&& C\cdot e^{-b\cdot x}=1\\\\&& e^{-b\cdot x}=C^{-1}\\\\&& e^{b\cdot x}=C\\\\&& x=\frac{\ln(C)}{b} \end{}$

Svar #3
23. september 2024 af shbm

Tusind tak for hjælpen! Det giver meget bedre mening nu. :)

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. september 2024 af mathon

$\begin {array}{lllllll} \textup{I din aktuelle}\\\text{opgave:}\\&& x=\frac{\ln(29)}{0.297}=11.34 \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. september 2024 af mathon

Kontrol i N-spire:

$\begin{array}{llllll} \textup{Define }f(x)=\frac{90}{1+29\cdot e^{-0.297x}}\\\\ \textup{Define }f_{mm}(x)=\frac{d^2 }{dx^2}\left(f(x) \right )\\\\&& \textup{solve}\left(f_{mm}(x)=0,x \right )\\\\&&x=11.34\end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. september 2024 af AMelev

Helt generelt gælder for den logistiske funktion f(x) = (b/a)/(1+c·e^-b·x) , at væksthastigheden (tangenthældningen) er størst for f(x) = b/(2a) (og x = ln(c)/b jf #2) - altså midtvejs mod øvre granse.
I dit tilfælde er b/a = 90, så væksthastigheden er maximal for f(x) = 45
For at finde x-værdien kan du så alternativt bare løse ligningen f(x) = 45

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. september 2024 af mathon

Hvis man på forhånd véd, hvad der er oplyst i #6:

$\begin{array}{lllllll} \textup{Define }f(x)=\frac{90}{1+29\cdot e^{-0.297\cdot x}}\\\\ y=\frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a}\qquad \frac{b}{a}=90\\\\& \textup{solve}\left(45=f(x),x \right )\\\\& x=11.34 \end{}$

Skriv et svar til: Differentialregning. Optimering? Nspire.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.