Differentialregning

Hej Wagsen

Det er meget klassike opgaver. Hvor har du konkret brug for hjælp?

Hej igen

Jeg har ikke længere abonnement til N-spire, men jeg vil gerne forsøge at ridse op hvordan de kan løses. 

Vedrørende opgave 89.

a) Funktionen er givet ved forskriften f (x) = x⁴ - 8x² + 1. 

Altså er f (x) = 0 præcist hvis x⁴ - 8x² + 1 = 0. 

Da den højst forkomne eksponent på den variable er 4, kaldes x⁴ - 8x² + 1 = 0 for en fjerdegradsligning. Idet hjælpemidler er tilladt, løses ligningen ved "solve(x⁴ - 8x² + 1 = 0, x)". Løsningerne til ligningen er de x-værdier der knytter funktionsværdien 0. Man siger også at løsningerne til ligningen er de værdier af x således at billedet af x under f er lig med nul. 

b) Meget nede på jorden er en tangent (uformelt sagt) en ret linje der har samme hældning som grafen i det givne punkt. 

Når vi har givet en regneforskrift for funktionen og skal bestemme en tangent, finder vi derfor et udtryk for dens afledede funktion, f ' (x).

I hånden ville man differentiere hvert led for sig. Idet hjælpemidler er tilladt, kan vi blot bruge kommandoen "^d/_dx(x⁴ - 8x² + 1)". ......= 4x³ - 16x. 

I dette tilfælde skal vi finde ligningen for tangenten i punktet P = (3, f (3)). Altså findes

f ' (3) = 4·3³ - 16·3 = 4·27 - 48 = 108 - 48 = 60. Da tangenten t er en ret linje, har vi indtil videre om tangenten at t: y = a·x + b = 60·x + b. 

Vi har at grafen for f går igennem punktet P. Altså fås

f (3) = 3⁴ - 8·3² + 1 = 81 - 8·9 = 81 - 72 = 9. Det vil sige at P = (3, f (3)) = (3, 9) = (x₁, y₁)

Idet tangenten går igennem punktet P, ligger punktet på linjen. Derfor fås 

y₁ = 60·x₁ + b ⇔ 9 = 60·3 + b ⇔ b = -171.

Altså er ligningen for tangenten t til grafen for f i punktet (3, f (3)) givet ved

t: y = 60·x - 171.

c) At finde monotoniforhold betyder uformelt set at finde de intervaller hvor grafen for f er voksende og aftagende. Første skridt er derfor at finde x-koordinaterne til de punkter hvori grafens hældning er nul. Altså de værdier af x der er løsninger til ligningen f ' (x) = 0.

Slutteligt undersøges grafens hældning ved at udregne f ' (x) "rundt om" de funde punkter hvori grafens hældning er nul. 

Samme gældende for opgave 102.

f (x) = x⁴ - 8x² + 1

Ligningen f(x) = 0 kan løses i hånden. Indfør variablen ξ=x². Det giver ligningen ξ²-8ξ+1=0. Den løses på sædvanlig vis, hvorefter  løsningen til den oprindelige ligning findes ved at tage kvadratroden af hver af de to løsninger (hvis de ikke er negative).

(ξ er det græske bogstav ksi)