Matematik

Vektorfunktioner

20. februar 2025 af sofia877 - Niveau: A-niveau

Hej SP

Jeg kan ikke helt forstå, hvordan jeg skal regne disse opgaver ud?

Vedhæftet fil: Screenshot 2025-02-20 at 22.08.37.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. februar 2025 af SuneChr

Anvend formlen for kurvelængde for vektorfunktion.
I de tre opgaver forekommer cirkel, ellipse og spiral.

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. februar 2025 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. februar 2025 af peter lind

Brug at længden af en vektorfunktion er ∫_t1^t2|v(t)|dt hvor |v(t)| = kvrod(x'(t)² +y'(t)²)

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. februar 2025 af mathon

$\begin{array}{lllll}&& \begin{pmatrix}x(t)\\y(t) \end{}=\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t) \end{}\\\\&& x^2=\cos^2(t)\\&& \underline{y^2=\sin^2(t)}\\&& x^2+y^2=1\quad \textup{dvs enhedscirklen} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. februar 2025 af mathon

Længden af enhedscirklen for én omgang $\small t\in[0;2\pi]?$

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. februar 2025 af mathon

Længden af enhedscirklen for to omgange $\small t\in[0;4\pi]?$

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. februar 2025 af mathon

$\begin{array}{llllllll}&& \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{}=\begin{pmatrix} 2\cdot \cos(t) \\ 2 \cdot \sin(t) \end{}\quad t\in [0;2\pi]\\\\&& \left(\frac{x}{2}\right)^2=\cos^2(t)\\&& \underline{ \left(\frac{y}{2}\right)^2=\sin^2(t)}\\&& \left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{2} \right)^2=1\\\\&& \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\\\\\\&& x^2+y^2= 2^2\quad \textup{cirklen med centrum i (0,0) og radius 2} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
21. februar 2025 af mathon

$\begin{array}{llllllll}&& \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{}=\begin{pmatrix} 2\cdot \cos(t) \\ 3 \cdot \sin(t) \end{}\quad t\in [0;2\pi]\\\\&& \left(\frac{x}{2}\right)^2=\cos^2(t)\\&& \underline{ \left(\frac{y}{3}\right)^2=\sin^2(t)}\\&& \left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{3} \right)^2=1\\\\&& \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\quad \textup{ellipsen med centrum i (0,0) og lilleakse 2 og storakse 3}\\\\ \textup{Omkreds:}&&O=2\pi\cdot \sqrt{\frac{2^2+3^2}{2}} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. februar 2025 af SuneChr

Omkredsen af ellipsen er ikke så simpel som omkredsen af en cirkel.
Ellipsens omkreds beregnes v.h.a. det elliptiske integral af 2'den orden,
som mere meller mindre vil afvige fra den formel, man kan finde i formelsamlinger.
Omkredsen beregnet efter den i # 8 angivne formel er god til skolebrug men ikke i teoretiske overvejelser.

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. februar 2025 af mathon

tekstkorrektion:

$\begin{array}{llllllll}&& \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{}=\begin{pmatrix} 2\cdot \cos(t) \\ 3 \cdot \sin(t) \end{}\quad t\in [0;2\pi]\\\\&& \left(\frac{x}{2}\right)^2=\cos^2(t)\\&& \underline{ \left(\frac{y}{3}\right)^2=\sin^2(t)}\\&& \left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{3} \right)^2=1\\\\&& \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\quad \textup{ellipsen med centrum i (0,0) og \textbf{halve} lilleakse 2 og \textbf{halve} storakse 3}\\\\ \textup{Omkreds:}&&O=2\pi\cdot \sqrt{\frac{2^2+3^2}{2}} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
23. februar 2025 af mathon

I opgaverne 1 og 2 erfares det,
at
$\begin{array}{llllll} \begin{pmatrix}x(t)\\y(t) \end{}=r\cdot\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t) \end{} \end{}$ er vektorfunktion for en cirkel med centrum i (0,0) og radius r.

$\begin{array}{llllll} \begin{pmatrix}x(t)\\y(t) \end{}=\tfrac{1}{2}\cdot e^{\frac{t}{10}}\cdot\begin{pmatrix}\cos(-t)\\\sin(-t) \end{} \end{}\quad t\in [-10;12.5]$

er således vektorfunktion for en udartet "cirkel" med centrum i (0,0) og restringeret, eksponentielt voksende "radius" med modsat omløbsretning.
Grafen for en sådan vektorfunktion kaldes en SPIRAL.

Skriv et svar til: Vektorfunktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.