Matematik

Differentialregning

12. oktober 2025 af Oliviaaa0 - Niveau: A-niveau

Hej, jeg er i gang med at finde den afledede funktion af udtrykket:

f(x) = 500/(1+10*0,763^x)

Indtil videre er jeg kommet hertil:

f'(x) = -500*(10+0,763^x*ln(0,763)/(1+10*0,763^x)^2

Men jeg ved ikke, hvordan jeg skal løse gangeparentesen i tælleren. For normalt skal man gange tallet udenfor parentesen med alle tallene inde i parentesen. Jeg ved godt, at man kun må gange med 10 her. Men hvorfor må man ikke sige -500*0,763^x og -500*ln(0,763)? Er det fordi de ikke er konstanter?

Tak på forhånd.

Svar #1
12. oktober 2025 af Oliviaaa0

Hov, jeg har skrevet forkert. Der skal stå:

f'(x) = -500*(10*0,763^x*ln(0,763)/(1+10*0,763^x)^2

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. oktober 2025 af ringstedLC

#0
Men jeg ved ikke, hvordan jeg skal løse gangeparentesen i tælleren. For normalt skal man gange tallet udenfor parentesen med alle tallene inde i parentesen. Jeg ved godt, at man kun må gange med 10 her. Men hvorfor må man ikke sige -500*0,763^x og -500*ln(0,763)? Er det fordi de ikke er konstanter?

Parentesen er her overflødig, da den som opskrevet i #2 kun består af faktorer, - og ikke led som du måske tænker på.

$\begin{align*} f(x)=\frac{500}{1+10\cdot 0.763^x} &= 500\cdot\frac{1}{1+10\cdot 0.763^x} \\ f'(x) &= 500\cdot\frac{1}{\bigl(1+10\cdot 0.763^x\bigr)^2}\cdot 10\cdot 0.763^x\,\ln(0.763) \\ f'(x) &= \frac{5000\cdot 0.763^x\,\ln(0.763)}{\bigl(1+10\cdot 0.763^x\bigr)^2} \\ \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. oktober 2025 af SuneChr

De 500 står i tælleren og er konstant. Hvis man ønsker, at der skal stå 1 i tælleren,
skal nævneren ganges med ¹/₅₀₀ som også er konstant, og man ganger en flerleddet størrelse ved at gange hvert led for sig.

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. oktober 2025 af SuneChr

# 2
ln 0,763 < 0 og gør tælleren negativ for f ' . Der skal foran brøken anføres et minus tegn.
f er voksende i hele definitionsmængden.

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. oktober 2025 af mathon

for
$y=\frac{\frac{b}{a}}{1+C\cdot e^{-b\cdot x}}$

gælder
$y{\,}'=y\cdot\left(\frac{b}{a}-a\cdot y \right )\qquad a,b,y\in \mathbb{R}_+$

Brugbart svar (0)

Svar #6
14. oktober 2025 af mathon

for
$y=\frac{500}{1+10\cdot a^{ 0.763\cdot x}}\qquad b=0.270497$

$a=\frac{0.763}{500}=0.001526$

gælder
$y{\,}'=y\cdot\left(500-0.001526\cdot y \right )\qquad a,b,y\in \mathbb{R}_+\quad \textup{og}\quad 500-0.001526>0$

som måske er mere overskuelig.

Svar #7
14. oktober 2025 af Oliviaaa0

Okay, tak for alle svarene!

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. oktober 2025 af ringstedLC

#2 rettelse:

$\begin{align*} f(x)=\frac{500}{1+10\cdot 0.763^x} &= 500\cdot\frac{1}{1+10\cdot 0.763^x} \\ f'(x) &= 500\cdot\Biggl({\color{Red}-\,}\frac{1}{\bigl(1+10\cdot 0.763^x\bigr)^2}\Biggr)\cdot 10\cdot 0.763^x\,\ln(0.763) \\ f'(x) &= -\,\frac{5000\cdot 0.763^x\,\ln(0.763)}{\bigl(1+10\cdot 0.763^x\bigr)^2} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. oktober 2025 af mathon

rettelse for variabelforglemmelse

$500-0.001526>0\quad \textbf{rettes til}\quad 500-0.001526\cdot \mathbf{\color{Red}{y}}>0$

Brugbart svar (0)

Svar #10
15. oktober 2025 af mathon

samt

$\begin{array}{llllll} \frac{b}{a}=500\\\\ \frac{a}{b}=\frac{1}{500}\\\\ a=\frac{b}{500}=\frac{0.270497}{500}=5.409945\cdot10^{-4} \end{}$

dvs 2. rettelse:

$\begin{array}{llllll} \\\\\\ y{\,}'=y\cdot (500-5.409945\cdot 10^{-4}\cdot y)\qquad 500-5.409945\cdot 10^{-4}\cdot y>0 \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
23. oktober 2025 af mathon

det bemærkes, at

$\begin{array}{llllllll} y=\frac{500}{1+10\cdot 0.763^x}\quad \Rightarrow \quad 10 \cdot 0.763^x=\frac{500-y}{y} \\\\ y{\,}'=-500\cdot \frac{1}{\left(1+10\cdot 0.763^x \right )^2}\cdot10\cdot 0.763^x\cdot \ln(0.763)\\\\ y{\,}'=\frac{500}{1+10\cdot 0.763^x}\cdot \frac{500}{1+10\cdot 0.763^x}\cdot 10\cdot 0.763^x\cdot \frac{-\ln(0.763)}{500}\\\\ y{\,}'=y^2\cdot \frac{500-y}{y}\cdot 5.40994\cdot 10^{-4}\\\\ y{\,}'=y\cdot 5.40994\cdot 10^{-4}\cdot (500-y)\\\\\\ y{\,}'=y\cdot \left({\color{Red}{\mathbf{0.270497}}}- 5.40994\cdot 10^{-4}\cdot y \right )\qquad 0.270497- 5.40994\cdot 10^{-4}\cdot y>0 \end{}$

Skriv et svar til: Differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.