harminisk række

1+ !/2+.. = uenligd

Det følger af, at den harmoniske række ikke opfylder udsnitskriteriet for uendelige rækker

Vi er sikkert enige om, at det er en harmonisk række, og at vi skal vise, summen af leddene går mod uendelig, når n vokser ud over alle grænser.

1/1  +  1/2  +  1/3  +  ...  +  1/n     →      ∝      for    n   →    ∝

Allerede i 1300-tallet indså man divergensen  ved at samle leddene:

( 1/1 + 1/2 )  +  ( 1/3 + 1/4 )  +  ( 1/5 + 1/6  +  1/7  + 1/8 )  +  ( 1/9 + ...... + 1/16 ) +  ..............

Den efterfølgende parentes indeholder det dobbelte antal led, som den foregående parentes.

Summen af hver parentes bliver da > ½  og summen af alle parenteser  →  ∝

Hvordan viser man at 1+ 1/2^2 + 1/3^2 er endelig?

Udsnitskriteriet for uendelige rækker siger, at en uendelig række Σ_n=1^∞ a_n med komplekse led er

konvergent, hvis og kun hvis der til ethvert ε ∈ R₊ findes et n₀ ∈ N , så at der gælder

|a_n+1 + ... + a_n+p| < ε

for ethvert n ≥ n₀ og for ethvert p ∈ N .

For den harmoniske række har man for ethvert naturligt tal n ∈ N , at

(1/(n+1)) + (1/(n+2)) + ... + (1/(2n)) ≥ n·(1/(2n)) = 1/2 . Dette viser, at udsnitskriteriet ikke er opfyldt for den harmoniske række, hvorfor den harmoniske række ikke er konvergent.

#4

Det er jo en endelig sum.

#4

Derimod er rækken ∑_n=2^∞ 1/n² konvergent, da den har rækken ∑_n=2^∞ 1/((n-1)n) som en majorantrække, og denne er konvergent med sum 1 . Rækken ∑_n=1^∞ 1/n² er derfor også konvergent.

#7 Kan du bevise dette?

#8

Da 1/((n-1)n) = 1/(n-1) - 1/n , gælder for afsnittet

s_n = ∑_k=2ⁿ 1/((k-1)k) = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/(n-1) - 1/n) = 1 - 1/n , hvoraf det ses, at rækken er konvergent med sum 1. Da 1/n² < 1/((n-1)n) er rækken ∑_n=2^∞ 1/n² derfor konvergent, og dermed er også rækken ∑_n=1^∞ 1/n² konvergent.

hm.. det kan jeg godt se.