Lineær regression

Seriøst? Overalt? Det kunne være du skulle få tjekket øjnene. Hvorom alting er:

da punkterne med koordinatsættet (x1,y1) og (x2,y2) ligger på linjen for y=ax+b må det gælde at:

                                                                      a * x1 + b = y1      og        a * x2 + b = y2

vi trækker dem fra hinanden, således:         (a*x2+b)-(ax1+b)=y2-y1

og hæver paranteserne:                               a*x2+b-a*x1-b=y2-y1

vi kan nu reducere til:                                   a(x2-x1)=y2-y1

vi dividerer med x2-x1 på begge sider:        a=y2-y1/x2-x1

done

 (og bare for at det skulle dukke op på google for en anden gangs skyld:

lineær regression bevis for a og b funktion formel hældningskoefficient fremskrivningsfaktor matematisk formel )

#1

Du har bestemt den rette linie, der går gennem to givne punkter. Men når der tales om lineær regression, tænker man mere i retning af at benytte mindste kvadraters metode til at bestemme den rette linie, der bedst repræsenterer et sæt af (mere end to) datapunkter.

Hvis der er givet et sæt af n datapunkter (xi,yi) , søger man at bestemme a og b i modellen y = ax + b , således at summen af afvigelsernes kvadrater er mindst mulig:

S = ∑_i=1ⁿ (y_i - ax_i -b)²

Man søger derfor et stationært punkt for S, ∂S/∂a = 0 og ∂S/∂b = 0 , der fører til de to "normal"ligninger

a·∑_i=1ⁿ x_i   + b·n            = ∑_i=1ⁿ y_i ,

a·∑_i=1ⁿ x_i² + b·∑_i=1ⁿ x_i = ∑_i=1ⁿ y_i·x_i

der er et lineært ligningessystem i de to ubekendte a og b.

Ohm, jeg er godt klar over at hældningskoefficienten a er lig Δy/ΔX ( og mine øjne fejler iøvrigt ikke noget!) .. MEN, dét er ikke hvad jeg spørger om. Spørgsmålet er lidt mere avanceret (hvis man kan sige det på den måde).  

Det er selve regressionen når man har en masse punkter og gerne vi have den bedst rette linje igennem dem.

Så vidt jeg ved, så kan man udføre beviset på flere måde.. En af måder er via brugen af vektorer, men jeg ved ikke om det er smart at bruge vektor når man har trukket et spørgsmål der omhandler lineærfunktioner og potensvækst.

# 2 - mange tak. Det er liige hvad jeg snakker om  :)

Men kan du ikke forklare det trin for trin? Jeg forstår der næsten, men dog ikke helt.

#4

Det drejer sig om at bestemme minimum for funktionen S(a,b) , så derfor løser man de to ligninger

∂S/∂a = 0 og ∂S/∂b = 0

Beregner man de partielle afledede af S og sætter dem lig med 0, fremkommer de to ligninger.

a = y2-y1 / x2-x1

er også regression.

hvis du dog snakker om mindste kvadraters metoder er det ihvertfald ikke noget jeg har fået bevist, men jeg har fået en formel lignende din til at bestemme mindste areal på firkanterne. Bare uden sigma inkluderet.

hvor P1(x1,y2) + P2(x2,y2)... Pn(Xn,Yn) er punkter på grafen

S = (a*x1+b-y1)^2+(a*x2+b-y2)^2.....+(A*Xn+b-Yn)^2

 umiddelbart virker den mere overskuelig, men det må være op til #0. :)