Amorosos identitet (monopolprisformlen)

Ups fejl fejl fejl,

det skal selvfølgelig være GROMS (grænseomsætningen) og ikke GROMK der skal bruges, så der der står GROMK skal der bare stå GROMS i stedet for, undskyld jeg lige sov lidt i timen ;)

...det er vel hip som hap, om der står GROMS eller GROMK, hvis virksomheden optimerer sin produktionsproces, hvor de to er lig hinanden. :-)

Jeg har aldrig hørt om Amorosos identitet og har ikke noget om den i nogen af mine mikroøkonomibøger (har en del), der ellers behandler monopolemnet ret omfattende. Den er ligeledes umulig at finde noget om ved at google foruden et par slides, der på dansk opskriver identiteten.

Medmindre du decideret har undervisning i den og har mulighed for at spørge din forelæser, ville jeg, hvis det var mig, slet ikke bekymre mig om den "approksimation".

I øvrigt er den danske notation med GROMS, GROMK meget uheldig. Specielt når det handler om et monopol, hvor det er meget vigtigt at huske, at grænseomsætningen afhænger af den producerede og solgte mængde. Da giver det meget bedre mening at udnytte den internationale notation med MC(y) og MR(y) for marginal cost og marginal revenue, hvor y da er den producerede mængde. Da kan du også se, at MR(y*)=MC(y*), hvilket den danske notation ikke giver muligheden for.

Jeg tror heller ikke den er så udbredt, og derfor den ikke er så let at finde i dine bøger, men det gode ved den og grunden til det ikke er underordnet at det er GROMS der bruges skyldes at man med den let kan udlede den normalt kendte monopolprisformel som er den jeg i sidste ende vil vise. Min argumentation ses af følgende dokument hvor jeg dog stadig mangler et argument for approksimationen:

http://dl.dropbox.com/u/23166116/Monopolprisformlen.docx

Jeg ved godt jeg burde se igennem fingrende med at jeg ikke kan approksimationen, men det er bare ikke sådan jeg arbejder, jeg har den filosofi, at jeg undersøger ting så dybtegående og udtømmende som min forstand rækker, så som minimum vil jeg gøre mig den ulejlighed at gøre hvad jeg kan for at finde ud af det, jeg er jo studerende og har sommerferie til en gang i august, så tid har jeg masser af  ;)

Du skriver altså at jeg burde bruge følgende notationer:

GROMS=MR(y)

GROMK=MC(y)

Så det du vil indikere er vel blot at de er funktioner af den producerede mængde, hvilket i teorien kunne opnåes ved at skrive den danske version som:

GROMS(y)

GROMK(y)

Du skriver så at man kan se at MC(y*)=MR(y*) hvor du har sat en lille stjerne efter variablen y, men hvad betyder den?

//Sheldorin

Jeg forstår stadig ikke helt, hvad du skal bruge identiteten til, da monopolprisformlen da sådan set udledes relativt let.

Naturligvis er det muligt at opskrive den danske notation med et udtryk for den producerede mængde, men der er stadig ingen fordele ved at benytte denne notation. Med GROMS og GROMK er du sikker på, at ingen udlændinge kan forstå dig, og du skal skrive flere bogstaver, hvorfor dovenskab vel i grunden også taler for at benytte den internationale notation.

En asterix benyttes normalt til at angive optimum, hvorfor MC(y*)=MR(y*) er en optimumsbetingelse, der giver dig det optimale y, y*. 

Hvordan udleder jeg monopolprisformlen direkte?

Jeg er helt med på at det er klogere at benytte MR og MC set i det større perspektiv, vi har dog fået afvide at vi skal benytte den notation vi har lært til timerne for at der ikke er en masse afleveringer der bruger én notation mens en masse andre bruger den anden notation, så det er derfor jeg er vedholdende ved den danske (lange) notation ;))

Det er gjort på side 8, afsnit 17.6 i dette dokument.

Det er så relativt hvad man ser for let. Det er flinkt af dig, men jeg forstår det ikke rigtig, så jeg holder mig nok til min nuværende fremgangsmåde. Men jeg fik da lidt ud af at læse det, for jeg kan komme uden om approximationen ved følgende argument som kan ses i følgende dokument:

http://dl.dropbox.com/u/23166116/Monopolprisformlen.docx

Udledningen ses i fodnoten. Ser det helt fjollet ud?

//Sheldorin

Nu har jeg kigget det igennem igen, og jeg forstår godt fremgangsmåden, mit problem er at jeg ikke helt ved hvad D(p) står for. Men ser jeg det blot som en funktion af p og så ellers differentirer derudad så kan jeg godt se hvordan man kommer frem til det, men normalt ville jeg jo stille formlen op for overskud som

pi=p*x-TC

hvor jeg så ville differentirer i forhold til x og sætte lig nul for at finde max. Men i denne ser det ud som om at man ser afsætningen som en funktion af p hvilket jeg ikke har lært før (lidt højere niveau end hvad jeg er på).

Yes, det er korrekt. Da kommer du frem til formlen, der udtrykker, at monopolvirksomheden sætter prisen som en mark-up over marginalomkostningerne. Det er et meget centralt resultat.

At den skulle hedde Amorosos identitet?? Jeg skal ikke kunne sige det, men det er ikke det navn, den hyppigst går under. Mark-up pricing er nok, hvad du skal søge under, hvis du vil finde yderligere om emnet.

Med hensyn til udledningen så er din fodnote da lige så matematisk som den direkte udledning i dokumentet, der var i afsnit 14.6 (skrivefejl i tidligere indlæg). Faktisk er det præcist det samme, I laver. Ikke desto mindre var det fint, at løsningen blev givet ved næsten et tilfælde.

#8 D(p) står for demand(price), så det er det samme som at skrive x(p), om du vil. Det er lige netop vigtigt, at du ser afsætningen som en funktion af p, når det handler om en monopolvirksomhed. Normalt under fuldkommen konkurrence er virksomhederne pristagere, så de kan sælge så mange enheder af varen, de vil, til en given pris. Men når virksomheden er eneste udbyder kan den selv sætte prisen, men jo højere pris den sætter desto mindre efterspørgsel, vil der være. Efterspørgslen er aftagende i prisen. Det er en meget vigtig forskel at have sig for øje, hvilket måske forklarer mit notationsråd i #2. Kort og godt kan det ses ved, at monopolvirksomheder har aftagende efterspørgselskurver, mens virksomheder under fuldkommen konkurrence har vandrette efterspørgselskurver.

Hej igen,

Nu har jeg lige fået kigget det igennem igen, og kan godt se hvorfor du anbefaler at udlede direkte, det er jo bestemt meget nemmere, for når du siger hvad D(p) betyder giver udledningen nemlig meget mere mening i det du sendte mig :)

Så jeg har nu udledt monopolprisformlen således:

http://dl.dropbox.com/u/23166116/Monopolprisformlen.docx

Men kan du ikke fortælle mig hvordan man tolker det der står med max_p pi=... som der står i det dokument du linkede til. Jeg kan godt regne ud at monopolistens problem er at opnå maksimal gevinst, men hvorfor skrives det p under max? Er det fordi man vil maksimere ved at bestemme den optimale pris?

For jeg har selv en mikroøkonomibog som faktisk gør det næsten helt analogt med det du har linket til, dog ser de ikke afsætningen som en funktion af prisen, og der bruger de så bare max_x pi=... men jeg kan godt se at man klart skal se afsætningen som en funktion af prisen så længe man står over for en faldende afsætningskurve, men det har vi dog ikke lært noget om, det er lidt forenklet det hele inden for finansøkonomi, desværre ;)

Jeg vil også lige sige mange tak for din gode hjælp, det har været meget lærerigt ;)

//Sheldorin

Kom til at tænke på at for at jeg overhovedet kan påstå at have udledt det, skal jeg jo i teorien lave en andenordenstest, for at vise at det nu også er et maksimum vi har fundet :) Er det noget man kan gøre, eller kan man først gøre det når man står over for konkrete funktioner i "praksis"?

Du skal huske at benytte ⇔ imellem ligningerne, idet der er tale om logisk ækvivalens. 

betyder blot, at du maksimerer profitten med hensyn til p. Førsteordensbetingelsen er dermed den, der fremkommer ved at differentiere profitfunktionen med hensyn til p og sætte denne lig med 0, som du selv korrekt har udregnet til

hvor du kan se, at D(p)+pD'(p) er ændringen i omsætningen ved en marginal prisændring, mens C'(D(p))D'(p)) er ændringen i omkostningerne ved en marginal prisændring. Med andre ord betyder det, at

svarer til, at GROMS=GROMK. 

Med hensyn til andenordensbetingelsen ville jeg vente til du har nogle mere konkrete funktioner. Under alle omstændigheder vil der være begrænsninger for brugen af optimumsbetingelsen, for den er kun gældene for indre løsninger, dvs hvis virksomheden helt skal undlade at producere, vil selv et maksimum give negativ profit.

Så maksimere med hensyn til p betyder altså at vi maksimere profitten ved at ændre på p og derved opnå maksimum, kan man sige det sådan? Det er vigitigt jeg lige har helt styr på begreberne, så undskyld det nok lidt dumme spørgsmål ;)

Ja jeg ved egentlig godt det skal være <=> jeg kendte bare lige kommandoen for => i word og LaTeX (\Rightarrow), men kan ikke lige huske kommandoen for <=> og jeg gad ikke slå det op i minLaTeX bog eller sidde og klikke mig til dem, det tager jo en krig ;) Men jeg var faktisk i tvivl om jeg måtte sætte et <=> mellem max_p pi=pD(p)-C(D(p)) og D(p)+pD'(p)-C'(D(p))D'(p)=0 men det er fordi jeg ikke rigtig har brugt notationen før.

Jeg har lige endnu et spørgsmål jeg håber du vil være venlig at hjælpe mig med. Jeg har nu forstået at afsætningen logisk nok skal være en funktion af p når vi har en faldende afsætningsfunktion, men når jeg fx skriver at:

<VC=\int_0^x{MC(x)}\equation>

så burde jeg vel egentlig tage højde for at x er en funktion af p og så bliver det jeg lige har skrevet jo ikke helt korrekt? Forstår du hvad jeg mener? jeg burde jo egentlig alle steder jeg bruger afsætning (x) benytte den som en funktion x(p) og skrive det i stedet?

Sidst men ikke mindst, har du et forslag til en god bog som kommer godt rundt om det hele uden at være for kompliceret, altså en hvor der fx bruges at x(p) og den gængse metodik?

Igen tak, og undskyld alle mine spørgsmål :)

Hmm..  jeg kan ikke lige huske hvordan jeg bruger LaTeX i forummet, så jeg håber du kan se hvad jeg mener ;)

Du må ikke bruge biimplikationen imellem max og FOC (first order condition), der ville jeg benytte mig af almindelig ord til at forklare. Men når du har udregnet FOC, bør du benyttet biimplikation imellem alle skridtene. I LaTeX skal du bruge \Leftrightarrow, hvor det er vigtigt at første bogstav er et kapital. 

Du burde måske nok benytte x(p) i stedet for x, men der bør også være en afvejning af, om det kan betale sig. Hvis du ikke benytter p til noget, er der ingen direkte grund til at skrive det, idet det implicit er forståeligt for økonomer, hvad du du mener.  Husk, at tid er en begrænset ressource, så lidt dovenskab kan man godt tillade sig, hvis det ikke har nogen indvirkning på andres forståelse af ens arbejde. Om ikke andet er det fair at definere x(p)=x helt til at starte med og så blot benytte notationen, som du vil.

Angående bøger er det lidt afhængigt af, om du gerne vil kende mere til den økonomiske intuition omkring monopoler eller om du gerne vil vide mere om matematikken bag. Til det første kan Hal Varians: Intermediate Microeconomics - A Modern Approach anbefales, mens Thomas Nechybas: Microeconomics with Calculus skulle være mere grundig med hensyn til matematikken uden at gøre det for svært. Jeg har aldrig selv benyttet mig af den sidstnævnte, men jeg ved, at de på KU er gået væk fra Varian og i stedet benytter Nechyba nu, fordi den er mere matematisk i sin tilgang (dog skulle intuitionen være beskrevet en anelse Mankiw-agtigt). Dokumentet, som jeg linkede til tidligere, var skrevet ud fra Varians bog, og det så ud til, at det var en venlig forelæser, der havde skrevet en matematisk note til det intuitive kapitel. Da bøgerne er på engelsk, kan du dog roligt regne med, at de benytter sig af den engelske/internationale notation.

Vedrørende LaTeX i forummet, så har du vist blot valgt den forkerte skråstreg i sidste equation-tag.

At maksimere med hensyn til p er, at du maksimerer profitten ved at ændre på p, ja.

Men nu når jeg kigger det hele igennem, er det så ikke ækvivalent at sige at prisen er en funktion af afsætningen p(x) i stedet for at sige at x er en funktion af prisen? Fx når vi skal bestemme MR ville det jo blive:

MR(x)=d(p(x)*x)/dx=p'(x)*x+p(x)

og er det ikke lige så godt som at sige at

MR(x(p))=d(p*x(p))/dp=x(p)+p*x'(p)

Tak for de gode boghenvisninger, jeg tror jeg vil give mig i kast med Microeconomics with calculus, så jeg kan se lidt nærmere på matematikken, det er jo det gode ved ferien, så kan man rigtig få styr på det hele :))