differentialkvotienten for f(x)=e^x?

Det kræver kendskab til, hvorledes dit pensum definerer funktionen e^x , før man kan besvare spørgsmålet.

hm okay, eksamensspørgsmålet lyder dog bare: udled differentialkvotienten for udvalgte funktioner ved hjælp af tretrinsreglen. udled differentialkvotienten for f(x)=e^x..

men jeg kigger på det :)

en.wikibooks.org/wiki/Calculus/Derivatives_of_Exponential_and_Logarithm_Functions

#2

Første trin)

      Δf = f(x+h) - f(x)

          = e^x+h - e^x

          = e^x·e^h - e^x

          = e^x(e^h - 1)

Andet trin)

      Δf/h = (e^x(e^h - 1)) / h = e^x·((e^h - 1) / h)

Tredje trin)

      e^x·(e^h - 1) / h → e^x      for h → 0

#4

I det sidste trin skal man vise, at (e^h - 1) / h → 0 for h → 0 , og det er ikke nødvendigvis trivielt. Det kommer igen an på, hvilke forudsætninger man har lov til at antage på dette trin.

Jeg mener det er for kompliceret at bevise det. Den tredje trin ser sådan her ud:

Lad h ikke være lig med 0, ellers vil det være uendeligt ( x / 0 = ∞) . Derfor skal vi have en værdi, der ligger meget tæt på 0, hvor h går imod 0. Man kan f.eks. sige at 0 ≈ 0,00001 (eller endnu mere tættere på)... 

Hermed besvaret.

#6

Ja, det kunne være nogle gode antagelser, som anskueliggør tredje trin.

mange tak for hjælpen til jer alle! super dejligt i gider :)

omvendt funktion
                                  x = f ^-1(y)

                                  (f ^-1(y)) ' = 1 / f '(x) = 1 / ( f ' _º f ^-1)(y)

når
                                  f ^-1(y) = e^y
er
                                  f(x) = ln(x)
og
                                  (e^y) ' = 1 / ln '(x)  = 1 / x^-1 = x = e^y

eller skrevet

                                  (e^x) ' = e^x