Ligningsløsning

Find afstandsfunktionen d(x) = f(x) - g(x) og løs dernæst d'(x) = 0, for at finde minimum for d(x).

 Vil det sige afstandsfunktionen d(x) bare er = x^2-4*x+8-3*x*e^(-x) ?? 

#2

Ja, afstandsfunktionen d(x) bliver

d(x) = x² - 4x + 8 - 3·x·e^-x

Løs nu d'(x) = 0 .

#1

Man bør se på afstandsfunktionen d(x) = |f(x) - g(x)| , med mindre man allerede har vist, at f(x) ≥ g(x) for alle relevante x . Derfor er det mere fyldestgørende at finde minimum for funktionen

D(x) = (d(x))² = (f(x) - g(x))²

Løser man nu ligningen D'(x) = 0 , finder man

D'(x) = 2·d(x)·d'(x) = 2·(f(x) - g(x))·(f'(x) - g'(x)) = 0  ⇒

                                      f(x) - g(x) = 0 ∨ f'(x) - g'(x) = 0

Det ses deraf, at man jo skal løse ligningerne f(x) = g(x) eller f'(x) = g'(x) (hver for sig). Løser man kun f'(x) = g'(x) , fanger man ikke det tilfælde, hvor graferne faktisk skærer hinanden.

 Kan det passe d´(x) = 2x-4-3*e^-x

#5

Nej, det er ikke rigtigt. Du finder, at 

d'(x) = 2x - 4 + (3x·e^-x - 3·e^-x)

        = 2x - 4 + e^-x·(3x - 3)

ved at anvende produktreglen for differentiation.

Du finder så

d'(x) = 2x - 4 + e^-x·(3x - 3) = 0   ⇒   x ≈ 1,80156

Den mindste lodrette afstand mellem grafen for f og grafen for g findes altså ved x ≈ 1,8.

Du finder samme resultat ved at benytte fremgangsmetoden, som vist i #4. 

Nu forstår jeg det. Tusind tak for hjælpen;)

#8

En god idé ville være at lave en fortegnsundersøgelse for d'(x),  hvor du fastlægger, at der er tale om et minimum.