Forskrift for areal af trekant som funktion af x

Højden i trekant ABC er (√2) - x/(√2) . Tegn diagonalen i det store kvadrat til punkt C.

Og hvordan er du kommet frem til det?

Jeg kan desværre ikke se det, og det irriterer mig helt vildt. Selv når jeg tegner diagonalen.

                            _{lille trekant   2·store trekant}
             A(x) = 1 - (1/2)x² - 2·((1/2)·1(1-x))  = 1 - (1/2)x² - (1-x) =  1 - (1/2)x² - 1 + x  =  - (1/2)x² + x

             A '(x) = -x + 1 = 1 - x

#1

Diagonalen i det store kvadrat er √2 , og den del af diagonalen, der ligger ud over højden i trekant ABC, er jo katete i en ligebenet, retvinklet trekant med hypotenusen x, så længden af denne del er x / √2 .

Arealet af trekant ABC er da

A(x) = (1/2)·((√2) - x/√2)·2·x/√2 = (1 - x/2)·x ,

som også vist af mathon i #2.

Mathon's argument er dette, at figuren (kvadratet med sidelængde 1) består af den ukendte trekant ABC, et retvinklet ligebenet trekant med katete x (som har arealet x²/2 ), og to kongruente retvinklede trekanter med kateter 1 og (1-x), hvis samlede areal er 2·(1/2)·1·(1-x) , så

A(x) + x²/2 + (1-x) = 1 ,

hvoraf

A(x) = x - x²/2