Monotoniforhold..

Hvis parabelen vender grenene opad, har den et lokalt (og globalt) minimum. Hvis den vender grenene nedad, har den et lokalt (globalt) maksimum.

Monotoniforholdene giver et hurtigt overblik over, hvordan funktionen og dens graf ser ud. Generelt undersøger man monotoniforholdene for en funktion f(x) ved at løse ligningen f'(x) = 0 .

så der er ikke forskel på lokalt og globalt selvom ordene i selv kunne antyde det? 

#2

Jo, der kan generelt være forskel på et lokalt og et globalt ekstremum. Men for denne funktion, parabelen, er det lokale ekstremum også globalt.

Hvis man, fx har en afledede funktion for f hvorfor skal man så bestemme monotoniforholdene for både f(x) og f'(x) og tegne dem ind på en monotonilinje? Altså man kan sagtens vise hvordan en graf ser ud ved blot at lave en monotonilinje for kun  f'(x) eller kan man ikke? 

#3:  Så for en parabel er lokal og global det samme så i hvilken funktion er disse to ekstremum ikke ens? 

#4

Fortegnsvariationen for f'(x) beskriver monotoniforholdene for f(x) . Man bestemmer monotoniforholdene for funktionen f(x) ved at undersøge fortegnsvariationen for f'(x) . Man kommer i gang med fortegnsundersøgelsen for f'(x) ved at løse ligningen f'(x) = 0 .

#5

Parabelen har kun eet ekstremum, så dette ekstremum er også globalt. Mere komplicerede funktioner kan have flere lokale ekstrema.

#5: Hvordan kan man helt præcist definere et ekstremum?

Hvis man har fundet f'(x) og har isoleret x i f'(x) og fået x=2 skal man så vælge tal som, fx 1 og 3 og sætte ind istedet for x i den afledede funktion, fx f'(1) og f'(3) men hvad så hvis man får at f'(1)=1 og f'(3)= -0,01

#8

Et lokalt ekstremum er enten et lokalt minimum eller et lokalt maksimum.

Ved et lokalt minimumspunkt x₀ er fortegnsvariationen for f'(x) - 0 + .

Ved et lokalt maksimumspunkt x₀ er fortegnsvariationen for f'(x) + 0 - .

#9

Når man har fundet en løsning til ligningen f'(x₀) = 0 , beregner man f'(x) for en værdi af x på hver side af x₀ i nærheden af x₀ for at bestemme fortegnet af f'(x) på hver side af nulpunktet. De punkter, hvor man beregner f'(x), skal så ikke være nulpunkter for f'(x) .

I dit eksempel er fortegnsvariationen omkring x=2 for f'(x) så + 0 - , så der er et lokalt maksimum for f(x) ved x = 2 .

og man ved det er et lokalt maksimum fordi man får 1 som er positiv og som ligger før 2 og 3 negativ som ligger efter to dermed + nul - eller har jeg forstået det forkert?

#12

Man ved det er et lokalt maksimum ved x = 2, fordi i en omegn omkring x = 2 har f'(x) fortegnsvariationen + 0 - .