Matematik
gennemsnit og lineæresammenhænge
Jeg fik i en anden, nu død tråd, dette svar:
Hvis man måler en størrelse x og beregner en hjælpestørrelse y ("facit") ud fra x gennem en lineær relation:
y = ax + b
og man har et sæt målinger {xi} med tilhørende "facit" {yi}, har vi for hvert i
yi = axi + b , og dermed for gennemsnittet
<y> = (1/n)∑yi = (1/n)∑(axi + b) = a·(1/n)∑xi + b·(1/n)∑1
= a·<x> + b
Vi kan med andre nøjes med at sætte gennemsnitsværdien af de målte {xi} ind i udtrykket og udregne "facit" <y> .
Da gennemsnittet er en lineær operator, virker metoden derfor på en lineær relation mellem parametrene.
Er der nogle der kan forklare mig teknisk hvordan dette skal forstås? Jeg er godt klar over, at det forklarer at man kan tage gennemsnittet af hver x værdi, men jeg fanger ikke helt det tekniske i svaret
Svar #1
19. september 2011 af peter lind
Det er en formel, der bruges i forbindelse med lineær regression. Hvis du beregner gennemsnittet af xerne og y'erne skal de opfylde denne betingelse. Beregningen af a og b i lineær regression giver 2 ligninger til at finde a og b. Dette er den ene af dem.
Svar #2
19. september 2011 af Cichlid (Slettet)
Jeg tænkte med på forståelsen af selve: <y> = (1/n)∑yi = (1/n)∑(axi + b) = a·(1/n)∑xi + b·(1/n)∑1
= a·<x> + b
Svar #4
19. september 2011 af Cichlid (Slettet)
∑ betyder summen af, ikke sandt? Så det der gøres er, at man sætter konstanten udenfor så det er a *(1/n)∑xi
Men hvad med b, hvorfor står der b·(1/n)∑1 - det 1 tal forvirrer mig.
Svar #6
19. september 2011 af peter lind
Du har ret i betydningen af ∑. b er en konstant så du kan sætte den ud foran en parentes. Du har (b+b+b....) = b(1+1+...) = n*b
Svar #9
19. september 2011 af Cichlid (Slettet)
Men betød Σ1 så præcist hvad?
Og hvorfor er det lige, at dette kun fungerer med lineære sammenhænge?
Svar #10
19. september 2011 af peter lind
Σ1 = 1+1+1+ ... .
Formlen dukker op når man skal finde ligningerne til bestemmelse af a og b. Du kan se metoden på http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html Du kan ikke forvente at det samme dukker op med andre funktioner. På siden er der henvisninger til mere generelle resultater, hvis du er interesseret.
Svar #11
20. september 2011 af Cichlid (Slettet)
Okay, men hvad skal Σ1 = 1+1+1 gøre godt for`?
Og den hjemmeside er alt for kompliceret til mig:-)
Svar #13
20. september 2011 af peter lind
Summen dukker op på grund af den måde det er formuleret på i #0. Det kan også gøres som Σb = nb idet der er n b'er. Jeg vil nok selv have brugt den metode; men det er en smagssag hvad man foretrækker.
Med hensyn til hjemmesiden kan du i det mindste se at formlen dukker naturligt frem af disse beregninger. Du behøver iøvrigt kun at se på den indledende del frem til hvor formlen optræder. Ellers må du blot holde dig til at formlerne jo ikke kan forventes at være den samme for forskellige funktioner.
Svar #14
20. september 2011 af Cichlid (Slettet)
Svar #15
20. september 2011 af peter lind
Nu skal du lige passe på med hvad der står. Det står udmærket i #0, så der er ikke grund til at lave om på det. I det første led i #14 giver x ikke nogen mening, fodi der er mange x'er. Du skal erstatte x med summen af x'er
Svar #16
20. september 2011 af Cichlid (Slettet)
Svar #17
20. september 2011 af peter lind
Det bliver ikke bare til a. sum(x)/n er middelværdien af x så det bliver a*middelværdien af x
Skriv et svar til: gennemsnit og lineæresammenhænge
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.