Singularity!! Spg. til mdt. elsamen til 3-årigt A

Du kommer vel rigtig rigtig langt ved at kunne alle beviser og vigtigst af alt, have overblik over hvad du gør. Hvad er det du skal bruge beviset til. Fx ved jeg at i forbindelse med sammenhængen mellem areal og stamfunktioner er det vigtigt lige at skabe sig et overblik, for beviserne kan godt virke lidt tilfældige....

Og derudover så husk detaljerne, hvorfor skal x>0 osv

"Hvad er det du skal bruge beviset til"

Øhh..., så man må bruge sætningen ;-)

"derudover så husk detaljerne, hvorfor skal x>0 osv"

Det har jeg forsøgt... Det er altid det min lærer spørger om, og jeg hader de spg...

Ja det er klart...det er jo egentlig ikke så svært at skabe sig overblik, men langt fra alle der reelt har skabt sig overblik

Hvis du nu fx har beviser hvor du så at sige har flere led for at komme fra det ene til det andet så er det vigtigt lige at komme med nogle delkonklusioner en gang i mellem.
Men det er klart at hvis du fx beviser en regneregel så burde du meget nemt kunne bevare overblikket...;)

#0. Jeg tillader mig at svare, selvom jeg ikke hedder Singularity :-)

1)
Den associative lov fortæller dig, at du kan sætte paranteser, som du lyster:

a+(b+c) = (a+b)+c
a*(b*c) = (a*b)*c

Læg mærke til, at den ikke gælder generelt for subtraktion og division.

Den kommutative lov fortæller dig, at rækkefølgen du udfører operationerne i er ligegyldig:

a+b = b+a
a*b = b*a

Denne fejler også for subtraktion og division.

Den distributive lov kan siges at kombinere flere regneoperationer, og du kan tænke på distibutionen som en fordeling, i og med at multiplikation af en toleddet størrelse kan fordeles over leddene:

a*(x+y) = a*x+a*y

Angående lovene her kan du brilliere, hvis du kan komme med andre eksempler på matematiske operationer, der eksempelvis ikke er associative eller kommutative.

2)
Har du selv svaret på :-)

3)
*A* har helt ret i det, hun siger. Når vi tjekker for udmærkede karakterer, handler det i høj grad om, at man kan vise den røde tråd i det emne, man er oppe i, og at man formår at udvælge passende sætninger at bevise, samt forklarer hvordan en sætning kan være en hjælpesætning til et vigtigere resultat osv. Og det kan godt være, at du synes "hvorfor"-spørgsmålene er ubehagelige, men det er dem, der skiller fårene fra bukkene og viser os, hvem der har lært sig stoffet, og hvem der har reelt matematisk overblik. Det er med andre ord den slags spørgsmål, man rigtigt kan bruge til at bore med :-)

Men rådet må være, at du bliver klar over med dig selv, hvad din røde tråd skal være inden for de enkelte emner.

Mange tak for det første!

Ad 1)
Kan du give blot ét eksempel på det, du taler om til sidst?

Ad 2)
Hold da kæft jeg er "on fire" ;-)

Ad 3)
Det er bare lidt svært, når jeg er i tvivl om, hvordan der spørges?

@2: vil jeg mene at funktionssammensætning fx ikke er kommutativt.

hmm.. det må vist blive til 1) i stedet for ;D

#5. Du mener, hvordan eksamensspørgsmålene er formuleret, eller hvordan eksaminationen normalt forløber?

Eksempler på eksamensspørgsmål kan du se her:

http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervisgym/matematik.htm?menuid=150565

Forløb af eksamen og bedømmelseskriterier står beskrevet her:

http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/censor/mdt/ma2000.htm

#8: Tak! Hvordan er det så lige med forberedelses- og eksaminationstid?

#9. Der skal eksamineres to i timen, dvs. du har 30 minutters forberedelse, som inkluderer at trække spørgsmål og transport, og du har 30 minutters eksamination, der inkluderer votering mellem censor og eksaminator. Regn med 25 minutter effektiv tid til hver.

Lige et par spg.

1) Indenfor "Integralregning" regner man altid med f som en kontinuert funktion. Er grunden til dette ikke blot, at en ikke kontinuert funktion i det betragtede interval ikke ville være differentiabel, hvorfor det ikke giver mening at tale om stamfunktioner.

2) Indenfor "Vektorfunktioner, hvor vi opgiver 12 sider, finder jeg ingen beviser. Hvad kunne et spg. gå på indenfor dette emne?

ad 1) Vi udnytter, at enhver kontinuert har en stamfunktion (nogle diskontinuerte funktioner, f.eks. f(x)=1/x, har dog også stamfunktioner).

1/x er da kontinuert..

#11: 1) Nej. Kontinuitet er en tilstrækkelig betingelse for integrabilitet, men ej en nødvendig. Som #12 påpeger, findes der masser af funktioner, som ikke er kontinuerte, men stadig integrable. Funktioner defineret ved 'gaffelforskrifter' er et nemt eksempel; f.eks. er funktionen f givet ved

f(x)=0 0
ikke kontinuert, men dog integrabel på [0,2] med integrale 1.

Sammenhængen med differentiabilitet skal man ikke hænge sig alt for synderligt meget i. Integration er i udgangspunktet en helt anden operation, og det er blot en særlig 'bonus', at man får den nydelige sammenhæng mellem integral og stamfunktion. Denne sammenhæng gælder ikke i samme forstand i den udvidede version af integralebegrebet, som flittigt anvendes af matematikere.

#14: uddyb bitte..

Hvilken del af det?

det sidste..
"Udvidede definition af integralbegrebet"

OK, jeg kan prøve at give en lettilgængelig udlægning af det. Integralbegrebet, som stort set alle andre end matematikere og fysikere anvender, kaldes almindeligvis Riemann-integralet. Som det nok er dig bekendt, er Riemann-integralet defineret vha. grænseværdier for over- og undersummen. Dvs. for at integrere en funktion f over et interval [a,b], indeler man intervallet i en partition

P={x_0,...,x_n}

med a=x_0
f(x)=1 x \\in A, f(x)=0 x \\in B,

hvor A er fællesmængden af Q (de rationale tal) og [0,1] og B=[0,1]\\Q, ikke integrabel - vis det selv vha. over- og undersummer. Endvidere er Riemann-integralet temmelig restriktivt mht. hvad man kan gøre med grænseovergang. Eksempelvis ville matematikere gerne, hvis følgende gjaldt

int lim f_n(x) = lim int f_n(x),

for en voksende følge af funktioner f_n, dvs. f_{n+1}(x)>=f_n(x) for alle x. Det gælder ikke generelt for Riemann-integralet. Så løsningen er naturligvis at lave et mere generelt integral. Det blev gjort i starten af 1900-tallet, og kaldes Lebesgueintegralet. Den grundlæggende idé er populært sagt at inddele y-aksen fremfor for x-aksen. Det er en anelse svært at forklare uden tegninger, men forestil dig, at f er en trappefunktion - en sum af konstante funktioner defineret på disjunkte intervaller, dvs.

f(x)=sum_{i=1}^n a_i*I_{J_i}(x),

hvor J_1,...,J_n er disjunkte intervaller og I er indikatorfunktionen bestemt ved

I(J)=1, x \\in J, I(x)=0 ellers.

Hvis vi vil integrere f ved at inddele y-aksen, så er det ikke svært at overbevise sig om, at integralet må være fastlagt ved

int f(x) = sum_{i=1}^n a_i*|J_i|,

hvor |J| er længden af intervallet J. Så generaliserer man efterfølgende det *kraftigt* ved at fastlægge den klasse af funktioner, som kan tilnærmes vilkårligt godt med trappefunktioner - de målelige funktioner. Ved grænseovergangen beskrevet tidligere kan man så (med et ikke ubetydeligt forarbejde!) udvide ovenstående definition på integralet til disse funktioner. Klassen af målelige funktioner er meget stor og omfatter bl.a. de kontinuerte. Praktisk taget enhver funktion, som kan skrives ned, er målelig - modulo modeksemplerne ;-).

Rent regneteknisk er det nye integral af mindre betydning i den forstand, at man sjældent skal udregne Lebesgueintegraler i sædvanlig forstand. Derimod har man stor glæde af deres generalitet og fine egenskaber ifm. grænseovergang. Afslutningsvis skal det også nævnes, at såfremt f er Riemann-integrabel, så er f også Lebesgueintegrabel, og integralerne er ens. Dvs. Lebesgueintegralet er en ægte udvidelse af det klassiske integralbegreb.

Som en øvelse er det ej overmåde vanskeligt at indse, at hvis du må bruge grænseovergangen beskrevet tidligere, så er funktionen beskrevet først i indlægget Lebesgueintegrabel med integral 0 (hint: beskriv den som en monoton grænse af trappefunktioner).

#12+#14: Tak! Jeg undrer mig blot over at man benytter sætningen A'(x)=f(x) til senere at vise, at enhver kontinuert funktion har en stamfunktion.

#18: Uhh... Det er vist ikke pensum.

Jeg har lige et par andre spg.:

1) I beviset for partiel integration kræver man, at f(x) og g'(x) er kontinuert. Er det i begge tilfælde blot for at sikre, at der findes en stamfunktion? I den med g'(x) er det vel i så fald lidt banalt, da man kræver g(x) differentiabel, hvorfor g'(x) jo nødvendigvis må have en stamfunktion.

2) Hvis man trækker koordinatgeometri, der er 1.g-stof, hvor meget forventes det så, at man inddrager vektorregning i beviserne? Skal man vise afstandsformlerne mm. på flere måder.

Og så lige til #4:
Determinanten og vektorproduktet er anti-kommutative ikke sandt? Kan du give et eksempel på noget ikke-associative?

På forhånd tak,
Kasper

Venligst?