Side 2 - Singularity!! Spg. til mdt. elsamen til 3-årigt A

Og så lige det sidste spg.:

Når man beviser de fuldstændige løsninger til differentialligningerne y'=ay, y'=b-ay og y'=ay(M-y) vha. af eksponentielle multiplikatorer, hvordan skal man så argumentere for, at det resultatet er DE fuldstændige løsninger?

Update...

#19:

ad 1) Jo, det er for at sikre, at der findes en stamfunktionen. Reglen for partiel integration er som bekendt

int f(x)*g(x)dx = F(x)g(x)-int F(x)g'(x)dx

hvor F betegner en stamfunktion til f. En stamfunktion eksisterer dermed til f*g netop hvis der eksisterer

(a) en stamfunktion til f,
(b) en stamfunktion til F*g'.

Det er da tilstrækkeligt, at f har en stamfunktion og g' har en stamfunktion (produktet af to kontinuerte fkt. er en kontinuert fkt.). Det er *ikke* banalt for g'. Det er sandt, at g antages differentiabel og dermed kontinuert, men kontinuitet gælder ikke nødvendigvis for g'. Find selv modeksempel.

ad 2) Det viser et godt overblik, hvis du på fornuftig kan inddrage vektorregning til måske at komme lettere om ved nogen ting. Gør det, såfremt det falder naturligt og eksempelvis gør et bevis simplere.

Din kommentar til Allans indlæg er ja. Vektorprodukt og determinant er udmærkede eksempler på antikommutative operationer. Et eksempel på en ikke-associativ operation kunne være noget så simpelt som division.

#21: Man finder normalt løsningerne til bemeldte differentialligninger vha. separation af variable. Det sikrer, at den fundne løsning er den fuldstændige løsning. Hvis I har benyttet et andet bevis, er du nødt til at være mere specifik, eller vente på at Allan eller en anden med bedre kendskab til gymnasiepensum dukker op :-)

Mange tak! Det var dejligt lige at få afklaret. Jeg krydser så fingre for at Allan kigger forbi ;-)

#21. Hvis I ikke har vist det ved hjælp af separation af variable, gøres det typisk ved at anvende en entydighedssætning.

Ser vi f.eks. på y'=a*y, så har denne den fuldstændige løsning y=c*e^(ax)

Vi starter med at bemærke, at de angivne funktioner faktisk er løsninger til differentialligningen. Herefter opfatter vi differentialligningen som y'=h(x)*g(y) og bruger entydighedssætningen til at slutte, at der gennem et punkt (x0,y0) højst går én løsning. Denne findes så konkret, idet vi her bemærker, at vi blot skal sætte c lig med y0/(e^(a*x0)).

Altså: Entydighedssætningen giver højst én løsning, og den finder. Den fuldstændige løsning er dermed fundet.

#19. Hvis du trækker 1.g-stof, så er det det, du eksamineres i, og man kan derfor ikke forvente (med mindre det er eksplicit formuleret i spørgsmålet), at du anvender vektorregning. Derimod kan overskriften godt være formuleret på en måde, der gør, at den bredere samtale kan komme ind på sådanne ting.

Jeg vil blot takke jer endnu en gang! Jeg kom ikke op i nået af det, som i har hjulpet mig med, men fik alligevel karakteren 11. Det er en lettelse, da mundtlig matematik aldrig har været min stærke side. Jeg er bedre til at udnytte det beviste i det skriftlige ;-)

Men mange tak!

#26: Tillykke med det!

Hej igen!

Jeg hjælper lige en med at læse til matematik. I entydighedssætningen kræver man, at f er kontinuert, g er differentiabel og g' er kontinuert.

Beviset for sætningen er ikke opgivet som pensum, men kontinuiteten er vel blot påkrævet, da man i beviset benytter satmfunktioner til f og g'? På samme måde er differentiabiliteten en måde at sikre såvel en stamfunktion, som en afledt funktion, da differentiabilitet medfører kontinuitet.

Right?

"men kontinuiteten er vel blot påkrævet, da man i beviset benytter satmfunktioner til f og g'?" JA

Kravet om, at g skal være differentiabel, er nødvendig for at vi kan differentiere den og dermed sikre eksistensen af g'.