Matematik
Differentialligning og fortegnsanalyse
Jeg har differentialligningen
y' = y(x2-9) for y>0
som funktionen f er løsning til, altså må differentialligningen vel være differentialkvotienten for funktionen f.
Jeg skal bestemme monotoniforholdene for f, så jeg sætter differentialkvotienten y' = 0 og løser ligningen mht. til x. Jeg får
solve(y' = 0, x) x= 3 or x=-3 or y=0
Da y skal være større end nul forkaster jeg den sidste løsning
Nu laver jeg fortegnsundersøgelsen
y'(4) = 7*y
y'(2) = -5*y
y'(-4) = 7*y
Jeg får faktor y ved alle udregninger. Jeg ved godt det ikke ændrer på resultatet, men det ser ikke så pænt ud. Jeg går ud fra, at det er fordi, at der indgår 2 variable i differentialligningen at y'et kommer med. Kan man gøre noget for at slippe for dette y? (jeg ved godt man kan differentiere f(x) og sætte differentialkvotienten = 0 og derefter lave fortegnsanalyse, men det virker dumt)
Min lærer sagde vist noget med, at (x2-9) har samme fortegn som y', så jeg kan nøjes med at lave fortegnsundersøgelse på (x2-9). Det forstår jeg bare ikke helt, da man ikke bare kan se bort fra y
Svar #1
22. september 2011 af Andersen11 (Slettet)
Differentialligningen er en ligning og er ikke det samme som en differentialkvotient.
Man ser af differentialligningen, da y > 0, at differentialkvotienten f' har samme fortegn som x2 - 9 , hvorfor f'(x) er < 0 mellem parabelens rødder, og f'(x) er > 0 uden for intervallet bestemt af de to rødder.
Svar #2
22. september 2011 af placebo321 (Slettet)
Tak. Jeg ved godt, at differentialligningen ikke er det samme som en differentialkvotient, men er differentialligningen i dette tilfælde ikke f 's differentialkvotient, da f er løsning til differentialligningen? Er y' ikke fremkommet ved at differentiere f eller sagt på en anden måde: Får du ikke et udtryk tilsvarende differentialligningen, hvis du differentierer f?
Svar #3
22. september 2011 af Andersen11 (Slettet)
#2
Hvorfor bliver du ved med at sige, at differentialligningen er en differentialkvotient.
Differentialligningen er en ligning, som ligningens løsninger opfylder. Den viser i dette tilfælde, hvorledes den afledede f'(x) af en løsning f(x) kan beregnes, når man kender f(x) og x .
Hvis f(x) er en funktion, der opfylder differentialligningen, skal der for alle x gælde, at
f'(x) = f(x)·(x2 - 9)
Det oplyses, at f(x) for enhver løsning, hvorfor fortegnet for f'(x) er bestemt af fortegnet for x2 - 9 .
Svar #4
22. september 2011 af placebo321 (Slettet)
Okay tak skal du have. Du skriver:
Det oplyses, at f(x) for enhver løsning, hvorfor fortegnet for f'(x) er bestemt af fortegnet for x2 - 9 .
Skulle der stå:
Det oplyses, at f(x) for enhver løsning er større end 0, hvorfor fortegnet for f'(x) er bestemt af fortegnet for x2 - 9 .
Skriv et svar til: Differentialligning og fortegnsanalyse
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.