Omskrivning a ligning

-18x + 9x² + 8y + 4y² = 23

Vha kvadratsætning (a + b)² = a² + b² + 2ab fås:

(3x - 3)² + (2y + 2)² = 23

da 9x² = a², og -18x = 2ab.

9 hhv 4 kan sættes uden for parenteserne, da det er kvadraterne på 3 hhv 2:

9(x - 1)² + 4(y + 1)² = 23

Nu mangler vi kun at tage højde for leddet b² i kvadratsætningen ovenfor.

9(x - 1)² - 9 + 4(y + 1)² - 4 = 23

9 og 4 trækkes fra, fordi at man ved omskrivningen vha kvadratsætningen får det ekstra led b², som ikke er med i den oprindelige ligning.

-18x+9x^2+8y+4y^2=23              sætter parenteser om led med x og om led med y

(-18x+9x^2) + (8y+4y^2) =23          sætter 9 og 4 udenfor parentes

9(-2x+x²) + 4(2y+y²) =23                 flytter indholdet af parenteserne rundt

9(x²-2x    ) + 4(y²+2y    ) = 23          tilføjer et led i hver parentes så det bliver kvadratet på   en 2leddet størrelse (a-b)²   aller (a+b)²

dette kan dog kun gøres, hvis der trækkes samme led fra

9(x²-2x +1² -1  ) + 4(y²+2y +1²-1 ) = 23

9(x²-2x +1² )-9*1 + 4(y+2y +1²)-4*1 = 23

9(x-1)²-9 + 4(y+1)²-4 = 23

9(x-1)² + 4(y+1)²= 36

Tænker det måske er lettest at forstå, hvis du regner baglæns og viser at det sidste udtryk er lig det første. Vi starter altså med:

9(x-1)^2-9+4(y+1)^2-4=23

Vi ganger kvadraterne ud:

9(x^2+1^2-2x)-9+4(y^2+1^2+2y)-4=23

Og ganger ind i paranteserne:

9x^2 + 9 - 18x - 9 +4y^2+4+8y-4 = 23

Og reducerer:

-18x + 9x^2 + 8y + 4y^2 = 23