Parameterkurve

Farten er længden af hastighedsvektoren

v(t) = ( x'(t) , y'(t) ) ,

og farten har minimum, hvis og kun hvis dens kvadrat har minimum. Man skal derfor søge minimum for funktionen

v(t)² = (x'(t))² + (y'(t))²

Hvordan finder jeg så minimum?
 

Altså jeg har, at:

v(t) = √((2t)² + (1,5t² - 5/2)²)

#2

Det er nemmere at se på funktionen v(t)² . Man finder minimum for en funktion f(t) ved at løse ligningen f'(t) = 0 , eller ved her at bemærke, at grafen for v(t)² er en parabel, der vender grenene opad. Find toppunktets koordinater.

radikanden:
     
                                          v²(t) = 4t² + 2,25t⁴ - 7,5t² + 6,25 = 2,25t⁴ - 3,5t² + 6,25

   find minimum for
                                          v²(t)  = 2,25t⁴ - 3,5t² + 6,25

Okay, så får jeg:

f´(x) = 2t = 0 <=> t = 0

f´(y) = 1,5t² - 5/2 = 0 <=> t = 1,29099 og t = -1,29099

Er det rigtigt?

                                (2,25t⁴ - 3,5t² + 6,25) ' = 9t³ - 7t = 9t(t² - (7/9))  = 9·t·(t + √(7)/3)·(t - √(7)/3)

dvs
     ekstrema for
                                   t = -√(7)/3 ≈ - 0,882        t = 0      t = √(7)/3 ≈ 0,882

#5

Du skal finde minimum for funktionen v(t)² , se #4 .

Min lærer har bare aldrig lært mig det med radikand, så jeg ved ikke, hvor du får 2,25t⁴... osv :/

Tror, det er bedre, hvis jeg finder toppunkt, for der såtr, illustrer løsningen grafisk..

Problemet er, at når jeg plotter grafen ind i Maple, får jeg en parabel, der vender nedad, og det er fordi, at jeg skriver:

plot([2t,1.5t² - 5/2]). Så jeg får ingen x-akse. Hvordan skal jeg plotte den, så jeg får en x-aksen i Maple? 

#8

Det kommer af

v(t)² = (x'(t))² + (y'(t))² = (2t)² + (1,5t² - 5/2)²

                          radikand '(t)      (2,25t⁴ - 3,5t² + 6,25) ' = 9t³ - 7t = 9t(t² - (7/9))  = 9·t·(t + √(7)/3)·(t - √(7)/3)

dvs
     ekstrema for
                                   t = -√(7)/3 ≈ - 0,882        t = 0      t = √(7)/3 ≈ 0,882

monotoniforhold:
for t < - 0,882 er radikand '(t) < 0, hvorfor radikanden er monotont aftagende
for - 0,882 < t < 0 er radikand '(t) > 0, hvorfor radikanden er monotont voksende
for 0 < t < 0,882 er radikand '(t) < 0, hvorfor radikanden er monotont aftagende
for t > 0,882 er radikand '(t) > 0, hvorfor radikanden er monotont voksende

sammenlign de to lokale minima og find det mindste

#9

Du skal ikke plotte hastighedsvektoren v(t), men farten |v(t)| .

Vil jeg så få en parabel, der vender opad?

Hvordan lyder det så, når du vil plotte den ind?

    √(2,25t⁴ - 3,5t² + 6,25)  er mindst når radikanden    2,25t⁴ - 3,5t² + 6,25    er mindst

Sidste spørgsmål :)
Skal jeg så indsætte de 3 t-værdier ( t = 0, t = 0,882, t = -0,882) ind i funktionen for farten, og hermed se, hvilken fart, der er den mindste?

     da
                radikand(-√(7)/3)  =  radikand(√(7)/3) = 44/9              radikanden er symmetrisk i t

er

                v_min = |v(t)|_min = √(44/9) = (2/3)·√(11) ≈ 2,211