Underlig differentialligning

Benyt den såkaldte panserformel til at opstille den generelle løsning, og bestem så integrationskonstanterne ud fra oplysningen om tangenten.

                                       y ' + (-3)y = e^x                                                               multiplicer med e^-3x

                                       e^-3x·y ' + e^-3x·(-3)·y = e^-3x·e^x                                        omskriv venstre side

                                       (e^-3x·y) ' =  e^-2x                                                              integrer med hensyn til x

                                       ∫ (e^-3x·y) 'dx = ∫ e^-2xdx

                                       e^-3x·y =  -(1/2)e^-2x + C                                                   divider med e^-3x

                                       y =   Ce^3x - (1/2)e^x

  og
                                       y '  = 1 = 3y + e^x

                                       y '  = 1 = 3·(Ce^3·1 - (1/2)e¹) + e¹

                                              1 = 3e³C - (3/2)e + e

                                              1 = 3e³C - (1/2)e

                                              1 + (1/2)e = 3e³C

                                              C = (1 + (1/2)e) / (3e³)

                                              C = (1/3)e^-3 + (1/2)e^-2 ≈ 0,084263

                                       f(x) =  ((1/3)e^-3 + (1/2)e^-2)e^3x - (1/2)e^x

Tak Mathon.. men tror jeg skal bruge en panser formel?

Med at finde a(x) og b(x).. ?

y(x) = e^-A(x) ∫b(x) e^A(x)dx+ce^-A(x) tror det er denne her formel

Det er da nok en af de mest normale differentialligninger, du kommer til at arbejde med. Den kan løses på rigtig mange måder. Panserformlen, som du nævner, er en mulighed, Mathons løsningsforslag er også helt korrekt, og den kan såmænd også løses ved at opskrive det karakteristiske polynomium.

Men nogen der kan hjælpe mig i forhold til anvendelse af panserformlen?

dy/dx+a(x)y=b(x),

så i henhold til

dy/dx-3y=e^x

er a(x)=-3 og b(x)=e^x, hvorfor A(x)=∫(-3)dx=-3x, så det ved indsættelse i

y(x)=e^-A(x)∫b(x)e^A(x)dx+Ce^-A(x)

ses, at

y(x)=e^3x∫e^xe^-3xdx+Ce^3x=e^3x∫e^-2xdx+Ce^3x=e^3x(-1/2e^-2x)+Ce^3x=Ce^3x-1/2e^x,

der er i overensstemmelse med #3's beregninger.

Panserformlen er dog en relativt kedelig måde at løse denne slags opgaver med, for der er intet intuitivt i formelen, og den er umulig at huske. Så er det nemmere at benytte sig af metoder, der har større umiddelbar logik. Desuden er den ubrugelig så snart, der opereres med differentialligninger af højere orden.