Vis fourierrække af funktion

Da funktionen er ulige er koefficienterne til cosinus 0

Koefficienterne til sinus kan findes af ∫_-π^πf(t)sin(t)dt/π = 2*∫₀^πf(t)*sin(t) dt/π

Ja, og det er dér jeg ikke kan komme videre.. Ved indsættelse af f(t) får jeg:

b[n]=2/π* ∫₀^ππ/8 *(π*t-t^2)*sin(nt)dt = 1/4* ∫₀^π(π*t-t^2)*sin(nt)dt

Og her har jeg så forsøgt at bruge partiel integration, det blev jeg ikke klogere af.

Jeg har også forsøgt at omskrive til t*sin(nt)-t^2*sin(nt) og så bruge de oplysninger der bliver givet, men jeg ender hver gang med en lang brøk, hvor jeg ik kan komme videre til udtrykket for Fourierrækken..

Integrationen kan gennemføres med partiel integration, hvor du differentierer t eller t² og integrere den trigonometriske funktion. i dette tilfælde er det dog ret overflødig. Du skriver jo selv, hvad stamfunktionerne er nederst i #0

Så hvis jeg bruger stamfunktionerne der er givet får jeg

b[n]=π/4*[sin(nt)/n^2-t*cos(nt)/n-2cos(nt)/n^3-2tsin(nt)/n^2+t^2cos(nt)/n]₀^π

Hvordan kommer jeg så videre derfra?

Finder F(π)-F(0)

Så får jeg den lange brøk jeg heller ik kan komme videre fra..

b[n]=-1/4*(π*(-sin(nπ)n+πcos(nπ) n^2+2cos(nπ)+2πsin(nπ)n-π^2*cos(nπ)n^2-2) / n^3

Det er vel noget med at jeg skal vurdere det for n lige og n ulige, men jeg kan stadig ikke se hvordan jeg når frem til ∑sin((2n-1)t) / (2n-1)^3...?

Der gælder at sin(n*π) = 0, så en del af dine led forsvinder. Ellers skal du korrekt vurdere om n lige eller ulige. Der gælder jo at cos(n*π) er 1 for n lige, -1 for n ulige.

#6

Man skal benytte, at sin(nπ) = 0 for alle n, og at cos(nπ) = (-1)ⁿ .

Ok når jeg benytter sin(nπ)=0 og cos(nπ)=(-1)^n får jeg

-1/4*(π(π(-1)^n*n^2+2*(-1)^n)-π^2*(-1)^n*n^2-2) / n^3  ???

#9

Man finder (fra #2)

b_n = (1/4)·₀∫^π (πt - t²) sin(nt) dt

     = (π/4)·[ sin(nt)/n² - t·cos(nt)/n ]^π₀ - (1/4)·[ 2·cos(nt)/n³ + 2t·sin(nt)/n² - t²·cos(nt)/n ]^π₀

     = -(π/4)·π·(-1)ⁿ/n - (1/4)·2·(-1)ⁿ/n³ + (π²/4)·(-1)ⁿ/n + (1/4)·2/n³

     = (1/2)·(1 - (-1)ⁿ)/n³

Det giver så den ønskede formel ved at indse, at b_n = 0 for n lige.

Tusind tak for at skære det ud i pap, kunne se jeg havde lavet en fejl længere oppe også,.

Det eneste jeg ikke helt er med på, er hvordan du kommer fra 2. sidste linje til sidste?

#11

De to led -(π/4)·π·(-1)ⁿ/n og (π²/4)·(-1)ⁿ/n summeres jo til 0, da de er numerisk lige store med modsat fortegn.

Tilbage er så - (1/4)·2·(-1)ⁿ/n³ + (1/4)·2/n³ , der jo kombineres til slutresultatet.