Betingede sandsynligheder, binomial

Formuler dine konkrete spørgsmål her; så er der sikkert nogen, der kan hjælpe dig.

Det er en lang opgave, som omhandler en binomialfordelt variabel Y = X_t

Til de første spørgsmål antager man, at X₁ og X₂ er uafhængige

Sandsynligheden for at få succes (X_t =1) er 10 procent (0,10). Sandsynligheden for at få en fiasko er 1-0,10 = 90 %.

Jeg skal finde sandsynligheden P(X₂ =1) ud fra følgende informationer og finde ud af om X₂ og X₁ er uafhængige:

Sandsynligheden for X₂ er givet ved:

P(X₂ = 1 ι X₁ = 1) = 0,24 (sandsynligheden for at der er succes i X₂ betinget på, at der også er succes i X₁)

P(X₂ = 1 ι X₁ = 0) = 0,04 (sandsynligden for at der er succes i X₂ betinget på, at der er fiasko i X₁)

Jeg tænkte på at bruge Bayes formel..

#2

Hvis X₁ og X₂ er uafhængige, er

P(X₂ = 1 ι X₁ = 1) = P(X₂ = 1) · P(X₁ = 1)

Den information har jeg også brugt til de tre første spørgsmål i opgaven, hvor det er givet i opgaven, at de to bernoulli variable er uafhængige :). Men her skal jeg så finde ud af om de er uafhængige. Jeg ved ikke hvordan jeg skal finde X₂ :/

*Hvordan jeg skal finde P(X₂ = 1) :/

Jeg skal nemlig bruge informationen om X₂ og X₁ er uafhængige eller afhængige til at besvare de næste par spørgsmål, fordi formlerne er forskellige for afhængige stokastiske variable kontra uafhængige stokastiske variable.

Er der ikke nogen, der kan komme med et hint til hvordan jeg skal kombinere de to betingede sandsynligheder og komme frem til sandsynligheden for at der er succes i X₂?

Du kan benytte "law of total probability" til at finde P(X₂ = 1). Da hændelserne X₁=0 og X₁=1 er en partition af udfaldsrummet gælder der

P(X₂ = 1) = P(X₂ = 1 | X₁=0)*P(X₁=0) + P(X₂=1 | X₁=1)*P(X₁=1)

hvilket i dit tilfælde giver

P(X₂=1) = 0.04*0.9 + 0.24*0.1 = 0.06