Lineær algebra og induktion.

Man skal altså have hele opgaven for at kunne bedømme det.

Generelt for et induktionsbevis:

Man viser at udsagnet p(n) er sandt for et n = n₀, ofte for n₀ = 1. Man antager, at udsagnet p(n) er sandt og viser, at så er p(n+1) sandt. Derved følger ved induktion, at p(n) er sandt for ethvert helt n ≥ n₀ .

#1

Jeg har lagt noget mere med. Se vedhæftning. Burde det ikke være nok?

#2

Jep, så langt er jeg med - tak. Men synes det virker lidt uoverskueligt i denne kontekst.

Her.

Sætningen er ikke rigtig så du kan ikke bevise den ved induktion. Hvad er iøvrigt I₃ ?

Der gælder S_n+1(x) = Aⁿ⁺¹ *x = A*Aⁿ*x = A*S_n(x)

Da A ikke er enhedsmatricen kan der ikke gælde at S_n+1(x) = S_n(x) = I₃

Jeg skal vise, at S_n er bijektiv for ethvert n. Da den skal være bijektiv, må den tilhørende standardmatrice nødvendigvis være rækkeækvavilent med I₃ (identititsmatricen (ledende et-taller i hver række og søjle)).

Hvordan vil du så vise, at S_n er bijektiv for ethvert n?

Matricen A er rotationsmatricen R_y(π/6) svarende til en rotation omkring y-aksen med vinklen π/6 (30º) .

Der gælder derfor at A¹² = E , hvor E er enhedsmatricen svarende til den identiske afbildning.

Andersen11: Der blev niveauet lige en tand for højt. Ellers mange tak for hjælpen.

Du har eventuelt ikke en anden måde at løse mit spørgsmål i #6 på? Bare et lille hint? :)

#8

At den til matricen A hørende afbildning er bijektiv, hænger vel sammen med, at A er regulær og har en invers, altså at det(A) ≠ 1 .

Da det(A) = 1 , er det klart, at det(Aⁿ) = 1 for ethvert naturligt tal n .