4grads rødder

Det er lidt lettere at arbejde med polynomiet

p(x) = x⁴ + 9x³ -23x² -9x +22

der har de samme rødder, som det givne polynomium.

Man ser ved at gætte, at x = 1 og x = -1 begge er rødder i polynomiet. Man kan da dividere det forelagte polynomium med (x-1)(x+1) = x² - 1 og så bestemme rødderne i det resulterende kvotientpolynomium af 2. grad.

hmmm tror det skal skæres mere ud....

#2

Når man har eftervist, at x = 1 og x = -1 er rødder i polynomiet p(x), har man så faktoriseringen

p(x) = x⁴ + 9x³ -23x² -9x +22 = (x² -1)·(ax² + bx + c)

Ved simpel udregning og sammenligning med koefficienterne i p(x) kan man da bestemme de tre koefficienter a, b og c og dermed finde de to sidste rødder i p(x) .

hvordan vil du sammenligne koefficienterne? -23x^2 = ax -9x = bx og 22 = c eller???

#4

Nej. Man udregner (x² -1)·(ax² + bx + c) , hvorved man får et 4.-gradspolynomium, som er identisk med det givne polynomium p(x). Derved får man ved at sammenligne koefficienterne for de to polynomier et antal ligninger til bestemmelse af a, b og c.

(x² -1)·(ax² + bx + c) = ax⁴ + bx³ + (c-a)x² -bx -c = x⁴ + 9x³ -23x² -9x +22 ⇒

a = 1
b = 9
c-a = -23
-b = -9
-c = 22
 

jeg må sku være lidt små dum.... vil du ikke være sød og vise udregninerne, fatter det simpelhen ikke....

#6

Man har

(x² -1)·(ax² + bx + c) = x²·(ax² + bx + c) - (ax² + bx +c)

                                    = ax⁴ + bx³ + cx² -ax² -bx -c

                                    = ax⁴ + bx³ + (c-a)x² -bx -c

                                    =   x⁴ + 9x³    -23x²   -9x +22

#5 Det var faktisk en super smart måde at vise det på! 

super mange tak. :) er ret ny i det her og synes at 2,3,4 grader er lidt i drillerihjøret.... linærefunktioner er lidt nemmere... :-)

Igen tak

åh lige en ting mere....

(x^2+2)(ax^2+bx+c) vil det så blive x^3-4x^2-4x+16??

#10

Nej. Her er x = 2 en rod, så man skal bestemme faktoriseringen

(x - 2)(ax² + bx + c) = x³ -4x² -4x +16 , dvs

ax³ + (b-2a)x² + (c-2b)x -2c = x³ -4x² -4x +16

#11

Man ser jo, at x = -2 også er en rod, så man kunne bestemme faktoriseringen

(x+2)(x-2)(ax + b) = x³ -4x² -4x +16 , dvs

ax³ +bx² -4ax -4b = x³ -4x² -4x +16 ,

så hele faktoriseringen bliver

(x+2)(x-2)(x-4) = x³ -4x² -4x +16