Matematik - areal af ottekant...

                   A_octagon = 8·((a²/2)·sin²(67,5º)/sin(45º))                når a er octagonens sidelænde

...........

generelt af

                   A_{n-kant^regulær} = n·((a²/2)·sin²((90-(180/n))º)/sin(360º/n))             når a er octagonens sidelænde
                  

Jeg regner med at det er en regulær ottekant hvor de 8 siders længde er kendt

ottekanten deles op i 8 ligesidede trekanter, disse har en spids vinkel som er 360/8 grader

de øvrige vinkeler v er (180-45)/2 grader

højden i trekanterne er side/2 *tan(v)

areal af hver trekant= 1/2 side * højden = 1/4 side² tan(67,5)

Mette: jeg har regnet kateten ud. desuden er radius givet. r = 10

altså kendes kateten og længden fra midten af ottekanten til siden. 

er der en smart måde at gøre det på? 

Mathon: hvor kommer denne formel fra? hvordan er man kommet frem til de vinkler?

  i den indskrevne regulære polygon gælder:

      topvinklen i en af de n ligesidede trekanter
      er centervinklen
                                                      V_top = 360º/n

     grundvinklerne ved
     sidekanten er lige store
                                                      V_grund = (180º - V_top) / 2  =  (180º - 360º/n) / 2 = (90º - 1(80º/n))

for n = 8

                                                      V_grund = (180º - V_top) / 2  =  (180º - 360º/8) / 2 = (90º - (180º/8))

r = radius i den omskrevne cirkel = 10

Kantlængde 10*sin(45/2)

højde i trekant 2*10*cos(45/2)

areal

8*1/2 *kantlængde*højde

#5

Det bliver vist

kantlængde 2·10·sin(45º/2) og

højden 10·cos(45º/2) ,

hvilket dog fører til det samme areal,

A₈ = 8·(1/2)·2·R²·cos(45º/2)·sin(45º/2) = 4·R²·sin(45º) = (2·√2)·R² ,

hvor R er den omskrevne cirkels radius R.