Taylor talrækker

Man benytter potensrækken for e^z :

e^z = ∑^∞_n=0 zⁿ/n! ,

der er absolut konvergent for ethvert komplekst z, og så identiteten

e^ix = cos(x) + i·sin(x) ,

hvorfor

cos(x) + i·sin(x) = ∑^∞_n=0 (ix)ⁿ/n!

og skiller man rækken i realdel og imaginærdel, falder de to rækker for cos(x) og sin(x) ud helt automatisk.

Man benytter her, at i²ⁿ = (-1)ⁿ , og at i²ⁿ⁺¹ = i·(-1)ⁿ

Øhm, det er sådan set Eulers formel jeg forsøger at bevise.. Så er det ikke lidt lige som at bevise den med sig selv ??

på forhånd tak :b

#2

Var det så ikke på sin plads at præcisere, hvad der forudsættes, og hvad det er, du ønsker at vise?

#2

Det fremgik ikke særlig klart af oplægget i #0, at det var Eulers formel, der skulle vises, altså at

e^ix = cos(x) + i·sin(x) .

En måde at vise denne på er ved at betragte funktionen

f(x) = (cos(x) + i·sin(x))·e^-ix for reelt x.

Man har

f'(x) = (-sin(x) + i·cos(x))·e^-ix + (-i·cos(x) + sin(x))·e^-ix = 0·e^-ix = 0

Funktionen f(x) er altså en konstant, og da f(0) = 1 , har vi dermed

(cos(x) + i·sin(x))·e^-ix = 1 , og dermed

cos(x) + i·sin(x) = e^ix