koordinatskift

I min bog står:
"Vi vil slutte af med at skitsere en effektiv metode til hvordan man i praksis kan finde koordinattransformationsmatricen i et vektorrum V = F^n. Hvis A = (a1,a2,a3..,an) er den gamle basis og A'= (a1',a2',..an') er den nye basis, skal vi finde koordinatvektorerne for basiselementerne i A med hensyn til basen A', dvs. for j=1...n skal vi løse ligningssystemet:
A'x =aj         "

Jeg forstår virkelig ikke det her. Man er interesseret i at finde koordinattransformationsmatricen. Så der må gælde for en vektor v, at:

Φ(x1,x2...xn) = v = φ(x1',x2',xn')
Hvor er x1..xn er koordinatsættet for den gamle basis og x1',x2'..xn' er koordinatsættet for den gamle. Og så følger det, som min bog selv har skrevet tidligere, at koordinatskiftematricen er givet ved;
φ^-1 * Φ
hvor * er matrixproduktet.
Så hvorfor i alverden skulle man gå i gang med at løse et ligningssystem? - jeg misforstår noget!