Optimering

Kan du evt. vedhæfte et billede af din opgave/figur?

#0

"Forklaret som et differentiale, der er lig med 0" .... det lyder ikke som 9. klasses niveau.

Hegnet skal vel indhegne et rektangulært område. Hvis muren indgår som den ene side, drejer det sig om at maksimere arealet, hvor længden af de tre sider er lig med hegnets længde.

Ja, det er korrekt, og muren indgår som en side.. Og nej det er ikke 9. klasses-niveau, men det er nu 9. jeg går i så...

Jeg tænker bare på hvordan man matematisk laver funktion for arealet. Dette kunne for eksempel være af formen 

ax - bx² + c

Mit problem er som sagt, at jeg ikke kan se hvordan en sådan ligning ville komme til at se ud, og det ville være rigtig rart med en matematisk udredning for netop dette.

David

              ...hvilken form skal indhegningen have ?

                 jo mere af væggen, der benyttes, desto større areal.

                 med rektangulær form vil den ene langside kunne udgøres af væggen

#3

Kald siden i rektanglet, der forekommer to gange for x, og den anden side (modsat muren) for y.

Der gælder da 2x+y = 600 , hvor det isolerede udtryk for y indsættes i udtrykket for arealet

A = x·y = x·(600 - 2x) = 600x - 2x²

Det drejer sig da om af finde maksimum for funktionen

A(x) = -2x² + 600x

Grafen for A(x) er en parabel, der vender grenene nedad, så maksimum findes ved parabelens toppunkt, dvs. rektanglets ene side ved maksimalt areal er

x_max = -600/(2·(-2) = 125 , og dermed er den anden side y_max = 600 - 2·125 = 350 .

Kald siden i rektanglet, der forekommer to gange for B, og den anden side (modsat muren) for L.

Der gælder da 2B+L = 600 , hvor det isolerede udtryk for L indsættes i udtrykket for arealet

A = L·B = (600 - 2B)·B = 600B - 2B²

Det drejer sig da om af finde maksimum for funktionen

ekstremum kræver:

                              A '(B) = 600 - 4B =0

                              150 - B =0

                               B = 150

                               L = (600 - 2B) = (600 - 2·150) = 300

A(B) er voksende for 0 < x < 150

hvorfor
det maksimale areal opnås
med
                                     Bredden = 150 m  og  Længden  300 m

#6

Ja, jeg havde en oplagt regnefejl i #5 . Den sidste linie i #5 skal selvfølgelig være

x_max = -600/(2·(-2)) = 150 , og dermed er den anden side y_max = 600 - 2·150 = 300 ,

som det også korrekt er vist i #6.

Det maksimale areal er da

A_max = x_max·y_max = 150m·300m = 45000m²

Mange tak for hjælpen begge to... de to forskellige svar har bare forskellige resultater, og så vidt jeg kan se har #5 lavet en regnefejl hvilket leder mig hen til mit næste spørgsmål.

Hvilken metode bruger #5 antagende at der ligger noget korrekt bag, og at det bare er en slåfejl?

#8

Regnefejlen i #5 er netop korrigeret i #7.

Metoden i #5 bygger på, at en parabel, der vender grenene nedad, har maksimum i toppunktet.

Kender du navnet på metoden, for jeg har selv lavet et bevis for netop det du gør; kort sagt ved at forkorte... Jeg gad godt at se andres løsninger på samme

#10

Man benytter, at parabelen y = ax² + bx + c har toppunkt i

T = (-b/(2a) , -d/(4a)) ,

hvor d = b² - 4ac er diskriminanten.

Cirka det samme jeg er nået frem til, dog har jeg bare indsat x-værdien i ligningen for at få y-kordinatet

#12

Hvad mener du med "cirka det samme" ? Enten får man det samme, eller også man et anderledes resultat.

Jeg mener bare, at idet jeg er relativt uvidende om diverse sammenhæng i forhold til diskriminanten, har jeg fundet frem til hvordan man beregner x-koordinaten mens jeg bare har indsat værdien for x i ligningen for at finde y-koordinaten for toppunktet.