8.- grads ligning

(x-r₁)(x-r₂)(x-r₃)(x-r₄)(x-r₅)(x-r₆)(x-r₇)(x-r₈)=0

Du kan selvfælgelig vælge at gange parenteserne ud og trække sammen

- Vil du vise mig hvordan, Mette?

Men du behøver ikke, hvis ikke du vil.

For eksempel     ax⁸ + bx⁷ + cx⁶ + dx⁵ + ex⁴ + fx³ + gx² + hx + i

#2

Det er noget omstændeligt at gange udtrykket i #1 ud. Men det er jo noget, du selv kan gøre ved at følge de simple regler for at gange flerleddede størrelser med hinanden.

I en mere systematisk behandling vil man benytte, at koefficienterne i polynomiet er symmetriske polynomier i polynomiets rødder.

Hvis det blot drejer sig om et eksempel på en ligning af 8. grad, er x⁸ = a et eksempel.

Hvilken forskel er der på ligningen i #3 og ligningen i #4? Eller ér der overhovedet nogen forskel?

#5

I #3 er der givet et generelt polynomium af 8. grad. Sættes det lig med 0, fås ligningen til bestemmelse af rødder i det generelle 8.-gradspolynomium.

Ligningen i #4 , x⁸ = a, eller x⁸ -a = 0 , er et specialtilfælde af den generelle ligning, hvor de fleste koefficienter er sat til 0. 

Der findes ikke noget algebraisk udtryk for rødderne som funktion af koefficienterne i det generelle 8.-gradspolynomium. Er man i stand til at gætte en eller flere af rødderne, kan polynomiet faktoriseres og derved reduceres til et polynomium af lavere grad.