Integralteori: Konvergens af integraler

Hej, jeg sidder med nogle øvelsesopgaver jeg ikke helt har styr på. Jeg har prøvet mig lidt frem med nogle af dem. Opgaven lyder. 

Vis følgende  seks integraler findes for alle naturlige tal n. Konvergerer integralet for n gående mod uendelig? Hvis ja, hvad er grænsen? ( i nummer  6 skal man forklare hvorfor integralet eventuelt divergerer)

Når jeg skriver Int(a,b) mener jeg integralet over intervallet fra a til b.

1. Int(0,1)  (1+nx²)/(1+x²)ⁿ dx.

2. Int(na, ∞)  1/(1+x²) dx., hvor a er et reelt tal.

3. Int(-∞, ∞)  cos([x⁴+7n]/n) exp(-|x|) dx.

4. Int(n, n+1)  n/x dx.

5. Int(0, ∞)  n sin(x/n)/(x [1+x²]) dx.

6. Int(-∞, ∞) (sqrt[x²+1/n] - x) 1/(1+x⁴) dx.

Nu prøver jeg at komme med det jeg har prøvet. 

ad 2. Jeg ved i forvejen at udtrykket i 2'eren giver mening, og at integralet er konvergent. Grænsen finder jeg således:

Int(na, ∞)  1/(1+x²) dx = lim_k→_∞ Int(na, k) 1/(1+x²) dx = lim_k→∞ arctan(k) - arctan(na).   Dette konvergerer mod 0 hvis a er positiv, π/2 hvis a er 0 og π hvis a er negativ. Er det en korrekt fremgangsmåde?

ad 3. Integranden er reel og kontinuert og dermed målelig (right?). Integranden konvergerer mod cos(7) exp(-|x|). Og integranden har den integrable majorant exp(-|x|). Så ifølge Lebesgues majorantsætning er integralet her lig med integralet af grænsefunktionen,  cos(7) exp(-|x|). Dvs.

Int(-∞, ∞)  cos([x4+7n]/n) exp(-|x|) dx = Int(-∞, ∞)  cos(7) exp(-|x|) dx = cos(7) Int(-∞, ∞)  exp(-|x|) dx = 2 cos (7)  (udregningerne her burde holde, så jeg skipper nogle mellemregninger).

ad 4. Integranden er ikke-negativ og kontinuert, hvorfor den har et integral. Regner... 

Int(n, n+1)  n/x dx = n (log(n+1)-log(n)). Bruger l'Hôpitals regel med tæller (log(n+1)-log(n))=log([n+1]/n) og nævner 1/n. Ved differentation mht. n i tæller og nævner fås i tælleren -(1/n²)/(1+1/n)  og i nævneren -1/n² hvilket giver 1/(1+1/n) som går mod 1 for n gående mod uendelig. Altså er grænsen 1.

Det er hvad jeg er kommet frem til. Jeg håber nogen kan jeg hjælpe mig med at gennemskue en eller flere af de andre, eller bare bekræfte om det jeg har lavet indtil videre er rigtig.

Mvh. og godt nytår.