Matematik
Taylorpolynomier
Det vides om en funktion q8t) at
(i) q er defineret og 3 gange kontinuert differentiabel for -1 < t < 1
(ii) q(0) = 0 , q'(0) = -1 , q''(0) = 1
(iii) q'''(s) < 3 for 0 < s < 1
Bestem 2. ordens Taylorpolynomiet P2(t) for q(t) omkring t = 0 og det toæhøremde Lagranges restled. Brug disse udtryk til at gøre rede for at q(1/2) < -(5/16)
Jeg er ret usikker på hvad jeg skal, men det skal vel på formen:
P2(t) = f(a) + f'(a)(t-a) + (f''(a)/2!)*(t-a)2
Svar #1
17. januar 2012 af Andersen11 (Slettet)
Ja, det er den form. Angiv også det tilhørende restled.
Svar #2
17. januar 2012 af Supercalifragilistic (Slettet)
Okay, men hvad er det jeg skal sætte ind?
Altså
f(a) = 0
f'(a) = -1
f''(a) = 1
og a = 0 ?
Eller hvad
Og når der står
q'''(s) < 3
er f'''(a) = 3 altså restledet?
Svar #3
17. januar 2012 af Andersen11 (Slettet)
#2
Ja, a = 0, og funktionen hedder q, ikke f.
P2(t) = q(0) + q'(0)t + q''(0)·t2/2
Indsæt de kendte værdier for de afledede, og opskriv udtrykket for restleddet.
Svar #4
17. januar 2012 af Supercalifragilistic (Slettet)
kan det passe at restleddet hedder:
E3(t) = (1/(2*s3)) * (x-0)3 ?
Svar #5
17. januar 2012 af Andersen11 (Slettet)
#4
Hvorfor forklarer du ikke i stedet, hvordan du kom frem til det?
Svar #6
17. januar 2012 af Andersen11 (Slettet)
#4
Lagrange's restled til k'te orden er
Rk(t) = q(k+1)(ξL)/(k+1)! · (t - a)k+1 , for et ξL mellem a og t .
Her er så
R2(t) = q'''(s)/3! ·t3 , for et s med 0 < s < t .
Svar #8
01. april 2014 af Andersen11 (Slettet)
#7
Af det ovenstående har man, at
q(1/2) = P2(1/2) + R2(1/2) = -1/2 + (1/2)2/2 + (q'''(s)/6)·(1/2)3
= -3/8 + (1/48)·q'''(s) , hvor 0 < s < 1/2
Da q'''(s) < 3 for 0 < s < 1 , har vi da
q(1/2) = -3/8 + (1/48)·q'''(s) < -3/8 + (1/48)·3 = -3/8 + 1/16 = -5/16
Skriv et svar til: Taylorpolynomier
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.