3 ligninger med 4 ubekendte?

Se evt. skitsen, som er vedlagt som word-dokument.

Det er vel også givet, at grafen skal gå gennem punkterne A og B. Måske f(0) = -12 ?

Betingelserne f'(3) = f'(8) = 0 giver

f'(x) = k·(x-3)(x-8) = 3ax² + 2bx + c , dvs

    k·(x² -11x + 24) = 3ax² + 2bx + c , eller

a = k/3
b = -(11/2)k
c = 24k

Hvis f(0) = -12, er d = -12, og så har vi

f(8) = (k/3)·8³ -(11/2)·k·8² +24k·8 -12 = -4 , eller

(32/3)k = 8 eller k = 3/4

Polynomiet er da

f(x) = (1/4)x³ -(33/8)x² +18x -12

#2

1) Du kan se i #1, hvor jeg har vedlagt opgaven. Hvor ved du præcis, at f(0) = -12? Kan den ikke løses på en anden måde uden at bruge f(0) = -12?
2) Hvad er det for en størrelse "k" du indfører i starten?

#3

Jeg ved da heller ikke præcis, at f(0) = -12 . Det var et forslag aflæst af din graf. Jeg forestillede mig, at der var noget kendt om punkterne A, B og C, siden de er markeret specielt.

Hvorfra ved du, at f'(3) = 0, f'(8) = 0 og f(8) = -4 ?

Man kan ikke bestemme 4 ubekendte ud fra kun 3 oplysninger.

k er en faktor, der bestemmes senere. Når man kender rødderne i f'(x) , kan man jo faktorisere dette polynomium som vist.

#4

Du kan evt. se opgave 5 i den vedlagte fil. Ved ikke, om det hjælper.

1) Hvordan har du fundet rødderne af f'(x), når a, b og c ikke er kendte?

2) Hvordan læses et interval, der er skrevet følgende ]0;20[?

#5

Du skulle jo have givet hele opgaven, så vi ikke spilder tiden med ligegyldigt snak.

Det er jo oplyst, at

f'(3) = f'(8) = 0 , f(8) = -4, f'(15) = -1 og f(15) = 7,5

Funktionen er lineær for 10,5 < x ≤ 20 og kontinuert for x = 10,5.

Heraf ser man jo, at i punktet B gælder f(10,5) = 12 , så vi har (fra #2)

f(8) = (k/3)·8³ -(11/2)·k·8² +24k·8 + d = -4 og

f(21/2) = (k/3)·(21/2)³ -(11/2)·k·(21/2)² + 24k·(21/2) + d = 12

hvilket er 2 ligninger til bestemmelse af k og d.

Rødderne i f'(x) er jo givet, så man kan skrive den faktorisering for f'(x) som vist i #2.

#6

Det er rigtigt.

Som jeg også fik spurgt i #5 - hvordan læses et interval som ]0;20[? Det er i forlængelse af det forrige spørgsmål i opgavesættet, som går ud på at redegøre for differentiabilitet.

#7

Der er tale om det åbne interval ]0;20[ . Det eneste tvivlsomme punkt er her x = 10,5 .

#8
Er vi enige om, at funktionen f er kontinuerlig i [0;20], og ikke differentiabel i ]0;20[, idet der er knæk i x = 10,5?

Læses ]0;20[ som alle tal bortset fra 0 og 20, men samtidig større end 0 og mindre end 20? Altså forskellen mellem [0;20] og ]0;20[ er, at der i det første tages 0 og 20 med i regning, mens dette ikke er tilfældet for ]0;20[.

#8

Nej, det er vi ikke enige i. Funktionen er kontinuert i intervallet [0;20], og differentiabel i ]0;10,5[ og ]10,5;20[ .

Du må da have lært notationen med intervaller? Parentesens retning angiver, om intervalendepunktet er inkluderet eller ej, altså om intervallet er åbent eller lukket i endepunkterne.

I [0;20] hører endepunkterne med til intervallet, men ikke i ]0;20[ .

#10

Godt. Det var også det jeg skrev i de sidste 3 linjer i #9.

Et sidste spørgsmål. Kan du egentlig bekræfte mine værdier fra opgaven, hvor a = 0,256, b = -4,224, c = 18,43, d = -12,19 samt k = 0,768?

Du bør angive de eksakte værdier så vidt muligt

k = 96/125 = 0,768

d = -12,192 , c = 18,432 de øvrige er ok.

#12

Tusind tak!