Identitetsmatrix

Mener du ikke

A*I = A

I*B = B

?

Ups, du har selvfølgelig helt ret! Kan du eventuelt hjælpe mig?

Lad x(i,j) være element i i række j.

Således er A=

[[x(1,1), x(2,1), ..., x(n,1)]
[x(1,2), x(2,2), ..., x(n,2)]
[...]
[x(1,m), x(2,m), ..., x(n,m)]]

og I=

[[1(1,1), 0(2,1), ..., 0(n,1)]
[0(1,2), 1(2,2), ..., 0(n,2)]
[...]
[0(1,n), 0(2,n), ..., 1(n,n)]]

Da A er m*n og I er n*n ses det, at matricerne kan multipliceres. Resultatet vil være en m*n matrix.

Vedr. I anerkendes det, at der kun forefindes 1-taller i diagonalen.

Lad Y være resultatet:

[[y(1,1), y(2,1), ..., y(n,1)]
[y(1,2), y(2,2), ..., y(n,2)]
[...]
[y(1,m), y(2,m), ..., y(n,m)]]

Da er y(1,1)= x(1,1)*1(1,1) + x(2,1)*0(1,2) + ... + x(n,1)*0(1,n) = x(1,1) idet der kun findes et 1-tal i Is kolonne. Det ses, at y(2,1) vil ganges med 1(2,2) ... y(n,1) med 1(n,n), hvoraf det konkluderes, at
[y(1,1), y(2,1), ..., y(n,1)] = [x(1,1), x(2,1), ..., x(n,1)].
Anvendes denne metode til de resterende rækker fås:

Y = A

Hvilket beviser sætningen.

Mange tak for hjælpen! Vises I*B = B ikke på tilsvarende måde?

Prøv