Kædereglen

Der er vel en tastefejl i udtrykket for x?    x = 2s + 3t  ?

Benyt kædereglen

∂z/∂s = ∂f/∂x · ∂x/∂s + ∂f/∂y · ∂y/∂s

Da de 2. afledede af x og y med hensyn til s og t alle er 0, har vi

∂²z/∂s² = ∂²f/∂x² · (∂x/∂s)² + ∂²f/∂x∂y · ∂x/∂s · ∂y/∂s + ∂²f/∂x∂y · ∂x/∂s · ∂y/∂s + ∂²f/∂y² · (∂y/∂s)²

Regn selv færdig ved at indsætte de afledede af x og y med hensyn til s og t.

Ja der skulle stå x = 2s+3t

Jeg forstår ikke hvorfor du får det du gør.

Hvor kommer ∂²f fra?

#2

Så har man

∂x/∂s = 2 , ∂x/∂t = 3 , ∂y/∂s = 3 , ∂y/∂t = -2

der så indsættes på de relevante pladser i udtrykket i #1.

#3

Det kommer jo ved at differentiere ∂z/∂s med hensyn til s .

∂²z/∂s² = ∂/∂s (∂f/∂x · ∂x/∂s + ∂f/∂y · ∂y/∂s)

a) ∂²z/∂s² = (∂/∂s)(∂z/∂s)
..............= (∂/∂s) [2 ∂z/∂x + 3 ∂z/∂y]
..............= 2(∂²z/∂x² ∂x/∂s + ∂²z/∂x∂y ∂y/∂s) + 3(∂²z/∂y∂x ∂x/∂s + ∂²z/∂y² ∂y/∂s)
..............= 2(2 ∂²z/∂x² + 3 ∂²z/∂x∂y) + 3(2 ∂²z/∂x∂y + 3 ∂²z/∂y²)
..............= 4 ∂²z/∂x² + 12 ∂²z/∂x∂y + 9 ∂²z/∂y².

Det her har jeg gjort.....men jeg er fuldstændig i tvivl om hvad der sker...jeg har bare overført det fra en tidligere opgave bare med andre symboler så i tredje linje ved jeg ikke helt hvad der sker.

#6

Det er jo det samme resultat som udtrykket i #1 med de afledede i #4 indsat; dog begår du det, der kaldes misbrug af notation ved at benytte z og f synonymt .

∂²z/∂s² = ∂²f/∂x² · (∂x/∂s)² + ∂²f/∂x∂y · ∂x/∂s · ∂y/∂s + ∂²f/∂x∂y · ∂x/∂s · ∂y/∂s + ∂²f/∂y² · (∂y/∂s)²

               = ∂²f/∂x² · 2² + ∂²f/∂x∂y · 2 · 3 + ∂²f/∂x∂y · 2 · 3 + ∂²f/∂y² · 3²

               = 4·∂²f/∂x² + 12·∂²f/∂x∂y + 9·∂²f/∂y²