Matematik
Side 2 - Lineær algebra
Svar #22
24. juli 2005 af 404error (Slettet)
Vha. rækkeoperationer bringes matricen nu på reduceret rækkeechelonform. Så er rækkerummet udspændt af alle de ikke-trivielle rækker i den reducerede matrix. Disse rækker er endvidere lineært uafhængige (overvej definitionen på 'reduceret rækkeechelonform'), og deres antal må derfor være dimensionen af rækkerummet - som igen er lig antallet af pivotsøjler (af definitionen på disse).
Svar #24
24. juli 2005 af Export (Slettet)
``For a vector space $V$ isomorphic to a vector space $W$, all of the algebraic properties of vectors in $V$ that can be derived solely from the axioms of a vector space correspond to identical properties of $W$. However, we cannot expect other features---such as whether the vectors are functions, matrices, or $n$-tuples---to be carried over from one space to the other. But a generating set of vectors or an independent set of vectors in one space corresponds to a set with the same property in the other space.''
Svar #25
24. juli 2005 af 404error (Slettet)
T: V -> W.
Dit tekststykke siger blot, at vi deraf kan udlede identiteter såsom
T(v_1+v_2) = T(v_1)+T(v_2), v_i \\in V
T(a*v)=a * T(v), a \\in L, v \\in V
dvs. enhver 'vektorrumsoperation' i V modsvares af den samme operation i W, blot med T anvendt på de indgående vektorer fra V. Du kan med andre ord opfatte T som en ændring af navngivningen på elementerne; den basale struktur er imidlertid bevaret. Nogle gange kan ændringen til gengæld være ret markant, som tekststykket også gør opmærksom på. Vektorrummet af 2x2 matricer er isomorft med R^4 (hvad kunne en isomorfi være?). Vektorrummet af funktioner fra {1,2,...,n} ind i R (med de sædvanlige operationer) er isomorft med R^n (isomorfi?) - osv. Repræsentationen kan altså variere kraftigt, men i lineær algebra er den slags helt ligegyldigt. Pga. ismorfien gælder de samme resultater, uanset om man arbejder med den ene eller den anden repræsentation. Det er let at vise, at to vilkårlige, endeligdimensionale vektorrum af samme dimension er isomorfe.
Hvad angår sidste del af dit tekststykke, så bevares specielt lineær uafhængighed under isomorfier. Med førnævnte betegnelser gælder nemlig, at hvis {v_1,...,v_n} er en lineært uafhængig mgd. i V, så er
a_1 = ... = a_n = 0 <=>
a_1*v_1+...+a_n*v_n = 0 <=>
T(a_1*v_1+...+a_n*v_n)=T(0) <=>
a_1*T(v_1)+...+a_n*T(v_n)=0,
dvs. {T(v_1),...,T(v_n)} er en lineær uafhængig mgd. i W. Udfyld selv detaljerne i udregningen.
Svar #26
24. juli 2005 af Export (Slettet)
Gider du for resten at give mig et hint til hvordan jeg viser, at $((x-a)^n,\\dots,(x-a)^2,x-a,1)$ er en (ordnet) basis for rummet $P_n$ af polynomier af højeste grad $n$? Jeg kan nemlig ikke lige huske, hvad der skal gælde, for at noget er en basis.
Svar #27
25. juli 2005 af 404error (Slettet)
T: f(x) |-> f(x + a)
for et fastholdt a \\in R en (lineær) bijektion under de sædvanlige operationer på funktioner/polynomier. Specielt er den liste, du angiver, billedet af standardbasen [x^n,x^{n-1},...,x,1], hvoraf resultatet er klart.
Svar #28
25. juli 2005 af Export (Slettet)
Svar #29
25. juli 2005 af 404error (Slettet)
ker T = {v \\in V | T(v) = 0}.
Oplagt er ker T et vektorrum og betegnes følgelig ofte nulrummet for T. Nedenfor er tre simple eksempler.
(A): Et vigtigt eksempel på afbildninger med ikke-trivielle kerner er ortogonalprojektioner. Hvis et vektorrum V kan skrives som en direkte sum
V = U + W,
lad P_U betegne projektionen på U, dvs.
P(v) = P(u + w) = u,
hvor v = u+w, u \\in U, w \\in W, er den entydige repræsentation af v som en sum af elementer fra U og W. Så er
ker(P_U) = W (overvej!).
(B): For D en differentialoperator defineret på vektorrummet af glatte reelle funktioner med reelle værdier, er kernen givet ved løsningsmængden til den homogene differentialligning
Df = 0.
(C): For T operatoren defineret på C[0,1] ved
T(f)(u) = (1-u)*f(0) + f(1),
geometrisk at fortolke som linien mellem punkterne (0,f(0)) og (1,f(1)), er kernen
ker T = {f | f(0) = f(1) = 0} (overvej!).
Svar #30
26. juli 2005 af Export (Slettet)
Svar #31
28. juli 2005 af Export (Slettet)
1)
Hvis to forskellige rækker i en kvadratisk matrix $A$ ombyttes, så er determinanten af den resulterende matrix givet ved $-\\det(A)$. Dette skal bevises ved brug af induktion.
Lad nu $A$ være en $n \\times n$-matrix og lad $B$ være den matrix, man får ved at ombytte rækkerne $i$ og $r$ i $A$. Betragt så kofaktorerne $(-1)^{k+j}\\lvert A_{kj}\vert$ og $(-1)^{k+j}\\lvert B_{kj}\vert$.
I vores bog står der nu, at da ``the minor'' (hvad oversættes det med? -- se \\url{http://mathworld.wolfram.com/Minor.html}) matricer $A_{kj}$ og $B_{kj}$ er af størrelsen $(n-1) \\times (n-1)$-matricer, og $B_{kj}$ kan fås ud fra $A_{kj}$, ved at ombytte to rækker, så har de to føromtalte kofaktorere modsat fortegn. Hvorfor det?
2)
Hvordan vil du oversætte ``the adjoint matrix''?
Svar #32
28. juli 2005 af Export (Slettet)
Svar #33
29. juli 2005 af 404error (Slettet)
P(n): 'ved rækkeombytning i en n x n matrix skifter determinanten fortegn'
for n=2 (basistilfældet). Af induktionsprincippet gælder P(n), såfremt
P(n-1) ==> P(n), n-1>2.
Derfor: at kofaktorerne har modsat fortegn en konsekvens af, at den ene fremkommer ved en rækkeombytning i den anden - samt induktionsantagelsen P(n-1).
'Minor' vil jeg blot betegne tilsvarende på dansk. Jeg mener ikke at kunne huske mere autoriserede oversættelser.
2) Den adjungerede matrix.
Svar #34
29. juli 2005 af Export (Slettet)
Nu har jeg et andet problem, som jeg overhovedet ikke kan gennemskue (igen bruger jeg LaTeX-notation):
Lad $A = [a_{ij}]$ være en invertibel $n \\times n$-matrix, og lad $A_{i \\to j}$ være den matrix, men får ved at erstatte med $j$'te række i $A$ med den $i$'th række. Efter lidt beregninger, som jeg
godt kan følge med i, kommer de videre frem til følgende formel:
\\begin{equation*}
\\sum_{s=1}^n a_{is}a'_{js} =
\\begin{cases}
\\det(A) & \\text{for } i = j,\\\\
0 & \\text{for } i \
eq j,
\\end{cases}
\\end{equation*}
hvor $a'_{ij}$ er kofaktoren af indgangen $a_{ij}$ i $A$.
Nu er mit problem så, at i bogen hævder de, at venstresiden af ovenstående ligning er indgangen i den $i$'te række og $j$'te søjle i produktet $A(A')^T$, hvor $A' = [a'_{ij}]$ er matricen, hvis
indgange er kofaktorerne af indgangene i $A$. Hvorfor det?\\\\
Videre hævder de så, at dette betyder, at
\\begin{equation*}
A(A')^T = (\\det(A))I,
\\end{equation*}
hvor $I$ er $n \\times n$-indentitetsmatricen. Hvorfor gælder dette?
Svar #35
31. juli 2005 af Export (Slettet)
Lad $W$ være et underrum af $\\mathbb{R}^n$, lad $\\{\\vek{a}_1,\\vek{a}_2,\\dots,\\vek{a}_k\\}$ være en vilkårlig basis for $W$ og lad $W_j=\\textrm{span}(\\vek{a}_1,\\vek{a}_2,\\dots, \\vek{a}_j)$, for $j=1,2,\\dots,k$. Der eksisterer nu en ortonormalbasis $\\{\\vek{q}_1,\\vek{q}_2,\\dots,\\vek{q}_k\\}$ for $W$, således at $W_j=\\textrm{span}(\\vek{q}_1,\\vek{q}_2,\\dots\\vek{q}_j)$.
På et tidspunkt i beviset for ovenstående sætning, kommer de frem til, at $\\vek{v}_j$ er vinkelret på enhver vektor i $W_{j-1}$ (hertil kan jeg godt følge med), men hvorfor betyder dette, at $\\vek{v}_j$ er vinkelret på $\\vek{v}_1,\\vek{v}_2,\\dots,\\vek{v}_{j-1}$?
Jeg håber, at du gider hjælpe mig med både #34 og #35.
Svar #36
01. august 2005 af 404error (Slettet)
\\sum_{s=1}^n a_{is}a'_{js} =0 i \
eq j,
samt
\\sum_{s=1}^n a_{is}a'_{js}=det(A) i=j, ellers.
#35: Hvad er v_j?
Det vil øge læsevenligheden af dine indlæg betydeligt, hvis du undlader den overdrevne brug af LaTeX-notation og kun benytter den, hvor den er nødvendig.
Svar #37
01. august 2005 af Export (Slettet)
Jeg er ikke rigtig med på, hvorfor det første følger umiddelbart af brugen af definitionen på matrixmultiplikation. Hvad angår anden del, så kan jeg godt følge dig. Takker!
Til #35:
Hovsa, det glemte jeg da helt at skrive; v_1 = a_1. For j = 2,3,...,k er v_j = a_j-p_j, hvor p_j er projektionen af a_j på W_{j-1}.
Du må undskylde LaTeX-notationen; det er fordi jeg er blevet vant til kun at skrive i LaTeX - jeg skal nok forsøge at minimere bruger af denne notation fremover.
Svar #38
01. august 2005 af 404error (Slettet)
c_{ik} = sum_j a_{ij}b_{jk},
så den [ik]'te indgang i produktet D=AB^T er
c_{ik} = sum_j a_{ij}b_{kj}.
Heraf følger dit resultat.
Hvad angår anden del, får jeg næppe tid til at svare før i morgen.
Svar #39
01. august 2005 af Export (Slettet)
Svar #40
02. august 2005 af 404error (Slettet)
W_{i-1} \\subset W_i,
af definitionen på W_i'erne og
a_i \\in W_i, p_i \\in W_{i-1}.
Dvs. vektorerne v_1,...,v_{j-1} er elementer i W_{j-1}. Da v_j er ortogonal på W_{j-1}, følger det ønskede.