Side 3 - Lineær algebra - Matematik

Svar #41
02. august 2005 af Export (Slettet)

Jamen dog, så smart kunne gøres! Nu er jeg efterhånden ved at have læst hele bogen, men jeg har (mindste) ét spørgsmål endnu:

Lad A være en diagonaliserbar n x n-matrix. Antag, at én egenværdi - lad os (WLOG) antage, at dette er lambda_1 - har den største absolutte værdi af samtlige egenværdier lambda_i, i = 1, 2, ..., n. Lad videre {b_1, b_2, ..., b_n} være en basis for R^n og lad

w_1 = c_1*b_1 + ... + c_n*b_n

være en ikke-nulvektor i R^n. De hævder nu i bogen, at w_1 *ikke* bør være i det underrum af R^n, der genereres af egenvektorerne svarende til lambda_i, hvor i = 1, 2, ..., n, fordi det svarer til, at c_1 er forskellig fra nul. Hvorfor betyder ovenstående at c_1 er forskellig fra nul?

Svar #42
02. august 2005 af Export (Slettet)

Det var da vist en lidt uklar formulering i #41: At w_1 ikke er i det omtalte underrum svarer til, at c_1 er forskellig fra nul. Altså ikke, at w_1 ikke bør være i underrummet, fordi hvis den nu er, så vil c_1 være forskellig fra nul. (Det er du med sikkerhed klar over, men det var bare for at undgå eventuelle misforståelser).

Brugbart svar (0)

Svar #43
02. august 2005 af 404error (Slettet)

Det lyder til at være taget ud af en sammenhæng. Hvorfor skal c_1 være 0? Som problemet er formuleret i #41, lad T betegne koordinatskiftsafbildningen, som skifter fra basen {b_1,...,b_n} til egenvektorbasen. Så er T bijektiv, og hvis vi kan skrive

w_1 = c*v_i, c \
eq 0

hvor v_i er den i'te egenvektor, da er

w_1 = c*T^{-1}(v_i) = c*b_i.

svarende til, at c_i (og ikke nødvendigvis c_1) i #41 er forskellig fra 0. Faktisk *er* c_1=0 hvis w_1 ligger i underrummet udspændt af egenvektoren svarende til lambda_i, i=2,...,n.

Svar #44
03. august 2005 af Export (Slettet)

Til #43

Kommentar:
c_1 skal netop *ikke* være nul! Det går ud på at beregne egenværdier ved brug af potensmetoden, hvor jeg har ladet lambda_1 være den dominerende egenværdi (den med største absolutte værdi), hvilket er forklaringen på, at den ikke må være nul.

Spørgsmål:
Gider du at prøve at forklare lidt nærmere, hvorfor

w_1 = c*T^{-1}(v_i) = c*b_i?

Skal det ikke være w_i i stedet for w_1, eller er jeg forkert på den? Yderligere; hvorfor er det nu lige, at afbildningen

T : {b_1, ..., b_n} --> {v_1, ..., v_n}

er bijektiv?

Brugbart svar (0)

Svar #45
03. august 2005 af 404error (Slettet)

Jeg havde overset et 'ikke' i den temmelig kryptiske #42. Glem i så fald #43. Dit udsagn er under alle omstændigheder falsk som det står. Som eksempel, lad {b_1,...,b_k} være basen bestemt ved

b_1 = v_2, ..., b_{k-1} = v_k, b_k = v_1,

hvor v_i er den i'te egenvektor. Hvis w_1 ligger i underrummet udspændt af f.eks. v_2, så kan w_1 skrives

w_1 = c_1*b_1,

og c_1 er forskellig fra nul som krævet.

Som jeg vagt husker potensmetoden, er kravet i stedet, at såfremt w_1 skrives som en linearkombination af egenvektorer

w_1 = d_1*v_1 + ... + d_k*v_k,

så skal d_1 være forskellig fra nul. Er det mon det, du søger?

Svar #46
03. august 2005 af Export (Slettet)

Ja, jeg søger netop det du skriver i #45.

Svar #47
04. august 2005 af Export (Slettet)

Kan du i grunden fortælle mig, hvorfor determinanten af en ortogonalmatrix er -1 eller 1?

Brugbart svar (0)

Svar #48
04. august 2005 af allan_sim

#47.
Jeg blander mig lige :-)

Du ved, at for to n*n-matriser A og B er

det(AB)=det(A)*det(B).

Endvidere ved du fra definitionen af ortogonale matriser, at

(A^T)A=I

Slutteligt ved du, at

det(A)=det(A^T)

De tre i kombination giver dig det ønskede.

Svar #49
04. august 2005 af Export (Slettet)

Arh ja, det kan jeg da godt se, nu du siger det. Mange tak for hjælpen!

Svar #50
05. august 2005 af Export (Slettet)

Er der en (eventuelt 404error), som gider at hjælpe mig med at bevise, at matrixmultiplikation er associativt, for jeg kludrer rundt i indekserne til de enkelte indgange?

Altså, jeg vil gerne have hjælp til at vise, at hvis

A: m x n
B: n x p
C: p x r

så er m x r-matricen A(BC) er lig med m x r-matricen (AB)C.

Svar #51
06. august 2005 af Export (Slettet)

Forudsat at A, B og C har samme størrelse som i #50, er jeg kommet frem til, at den (i,j)’te indgang i produktmatricen er givet ved

((ab)c)_{ij}=\\sum_{l=1}^s\\left[\\left(\\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kl}\ight)c_{lj}\ight]

(a(bc))_{ij}=\\sum_{k=1}^n\\left[a_{ik}\\sum_{l=1}^sb_{kl}c_{lj}\ight],

men jeg ved ikke om det er rigtigt. I fald det er korrekt, vil jeg meget gerne have hjælp til at vise, at de to udtryk er ens.

Undskyld LaTeX-notationen, men jeg kan ikke rigtig gøre det anderledes her.

Brugbart svar (0)

Svar #52
06. august 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Jeg har lagt et bevis ud på http://www.texperten.dk/docs/associative_matricer.pdf.

Svar #53
06. august 2005 af Export (Slettet)

Mange tak, det var lige hvad jeg manglede!

Har I for resten et forslag til hvad jeg kan snakke om i 15-20 minutter, hvis jeg trækker spørgsmålet "Vektorrum og underrum"? Jeg synes det er ret svært at finde ud af, hvad jeg kan snakke om i forbindelse med dette emne.

Brugbart svar (0)

Svar #54
06. august 2005 af allan_sim

#53. Tja, hvad med

- Regneregler
- Lukkethed
- Nulrum
- Span
- Søjlerum

og ikke mindst

- uafhængighed
- baser

Svar #55
06. august 2005 af Export (Slettet)

Okay, takker! Ggider du eventuekt at prøve at uddybe de enkelte emner en lille smule?

Svar #56
07. august 2005 af Export (Slettet)

Det jeg mener i #55 er, om du gider at komme med nogle helt konkrete sætninger som jeg kan/bør bevise? Og eventuelt hvordan jeg skal strukturere fremlæggelsen af dette emne.

Svar #57
07. august 2005 af Export (Slettet)

Så har jeg i grunden også to andre eksamensspørgsmål, som jeg slet ikke forstår hvad jeg skal, hvis jeg trækker dem; der er tale om "Basis for et vektorrum; koordinatisering" og "Unitær diagonalisering". Håber virkelig, at nogen ved hvad jeg skal fortælle om, hvis jeg trækker et af disse spørgsmål.

Svar #58
07. august 2005 af Export (Slettet)

OPDATERING af tråden.

Okay, jeg har fundet ud af hvad jeg kan fortælle om, hvis jeg trækker emnet "Unitær diagonalisering".

Jeg er dog stadig i vildrede med hensyn til hvilke beviser jeg skal føre, hvis jeg kommer om i emnet "Vektorrum og underrum" (og i hvilken rækkefølge, jeg skal fremlægge dem).

Hvad angår "Basis for et vektorrum; koordinatisering", så tror jeg nok, at jeg har fundet ud af hvad vores forelæser mener, men jeg ved ikke helt hvad jeg kan fortælle om, udover at

- definere begrebet ordnet basis,
- definere, hvad man forstår ved en koordinatvektor relativ til en ordnet basis,
- forklare, hvordan man finder koordinatvektoren, der er beskrevet i punktet ovenfor,
- bevise, at et endeligdimensionalt vektorrum kan koordinaseres, således at R^n og V (generelt, endeligdimensionalt vektorrum) er isomorfe.

Jeg går ikke ud fra, at jeg kan få 15-20 minutter til at gå med ovenstående.

Svar #59
07. august 2005 af Export (Slettet)

#58: Nogen, der kan hjælpe?

Hvordan bør man i grunden oversætte "finitely generated vector space"?

Brugbart svar (0)

Svar #60
08. august 2005 af allan_sim

#55.
Tja, tal lidt om de associative, kommutative og distributive lovesamt nævn nulelementet og det inverse element.

Lukkede underrum: Hvis v og w \\in W, så er v+w \\in W og rv \\in W, hvor r er en skalar.

Nulrum: Definer hvad det er og vis eventuelt den sætning, som du tidligere har spurgt til i tråden.

Span: Forklar hvad det er, og hvis hvordan man ved at løse et ligningssystem kan afgøre, om en bestemt vektor ligger i spannet af en række vektorer.

Søjlerum: Definér søjlerum og vis sammenhængen med løsningen af ligningssystemer (systemet Ax=b har en løsning, hvis og kun hvis b ligger i søjelrummet for A).

Uafhængighed: Indfør begrebet og vis sammenhængen med løsning af det homogene system Ax=0

Baser: Definér dem og tal om, hvordan og hvorfor enhver vektor i et vektorrum kan udtrykkes entydigt ved hjælp af vektorerne i vektorrummets basis.
Tal evt. også om hvordan du kan afgøre, om et sæt af eks. 4 vektorer udgør en basis for R^4.

Du har kun 15-20 minutter, så hvis du vil omkring det hele, skal du ikke regne med at kunne nå at bevise det hele. Find en naturlig rød tråd, sådan at det du måtte nævne tidligt i eksaminationen bliver benyttet senere hen.

Håber det er detaljeret nok. Udvælgelsen er jo lidt op til dig :-)

#58.
Endeligt frembragt vektorrum.