Matematik
Differentialligninger.
Jeg fik oplyst, at y(t) = (1/cos(t)) - (1/sin(t)) t∈]0;π/2[
og den beder mig om at vise, at det er en løsning til differentialligningen
cos2(t)sin(t)y'(t) = -cos3(t)y(t) + 1 t∈]0;π/2[
mit bud:
y'(t) = (1/cos(t))' - (1/sin(t))' = (sin(t)/cos2(t)) - (-cos(t)/sin2(t)) = (cos3(t) + sin3(t))/sin2(t)cos2(t)
= (cos3(t) + sin3(t))·(1/(sin2(t)cos2(t)) = (cos3(t) + sin3(t))·(1/(sin(t)cos(t))2
og
y(t) = (1/cos(t)) - (1/sin(t)) = (sin(t) - cos(t))·(1/(sin(t)cos(t)) ⇔
(y(t) / (sin(t) - cos(t)))2 = (1/(sin(t)cos(t))2
dermed
y'(t) = (cos3(t) + sin3(t))·(1/(sin(t)cos(t))2 = (cos3(t) + sin3(t))·(y(t) / (sin(t) - cos(t)))2 =
= ((cos(t)3 + sin3t)·(y(t))2) / (cos(t) - sin2(t)) ⇔
(cos(t) - sin2(t))y'(t) = ((cos(t)3 + sin3t)·(y(t))2)
Jeg kan ikke komme videre ... Kan I hjælpe mig?
Svar #1
23. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)
Med
y(t) = (1/cos(t)) - (1/sin(t))
har man
y'(t) = sin(t)/cos2(t) + cos(t)/sin2(t) ,
og dermed
cos2(t)sin(t)y'(t) = sin2(t) + cos3(t)/sin(t) ;
tilsvarende fås
-cos3(t)y(t) + 1 = -cos3(t)·(1/cos(t) - 1/sin(t) + 1= -cos2(t) + cos3(t)/sin(t) + 1 = sin2(t) + cos3(t)/sin(t)
Heraf ses så, at
cos2(t)sin(t)y'(t) = -cos3(t)y(t) + 1 ,
så den forelagte funktion er en løsning til differentialligningen.
Svar #2
23. februar 2012 af Whut (Slettet)
#1
Kan du forklare mig, hvad du har gjort ved den tredje trin?
Svar #3
23. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)
#2
3. trin? Jeg ganger y'(t) med cos2(t)sin(t) .
I den lange linie ganger jeg y(t) med -cos3(t) og lægger 1 til. I den lange linie mangler der også en parentes i #1:
-cos3(t)y(t) + 1 = -cos3(t)·(1/cos(t) - 1/sin(t)) + 1= -cos2(t) + cos3(t)/sin(t) + 1 = sin2(t) + cos3(t)/sin(t)
Svar #4
23. februar 2012 af Whut (Slettet)
#3
Ja, eller hvad skal man kalde det for? Men, wow ... Mange tak for hjælpen !
Skriv et svar til: Differentialligninger.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.