Matematik
Differentiering af f(x)=1/x
13. august 2005 af
Æ-bet-pot-man (Slettet)
Dav
Jeg er kommet lidt i problemer da jeg har fået en opgave der lyder på at jeg skal finde differentialkvotienten f'(x) til f(x)=1/x ved brug af tre trins reglen. Jeg ved at resultatet gerne skulle være noget i retning af f'(x)=1/(x^2). Problemet er så bare at det er ikke det jeg får når jeg prøver at regne den ud vha. tre trins reglen, der må altså være en fejl i mine udregninger og jeg ville blive glad hvis nogen ville fortælle mig hvad den bestod i. Her er min udregning:
1. trin:
delta f = f(x + delta x) - f(x)
<=>
delta f = 1/(x + delta x) - (1/x)
(så mener jeg ikke rigtigt jeg kan komme videre)
2. trin:
(delta f)/(delta x) = (1/(x + delta x) - (1/x))/(delta x)
<=>
(delta f)/(delta x) = /(x * delta x + (delta x)^2) - (1/(x * delta x))
(så mener jeg ligesom heller ikke jeg kan komme videre her)
3. trin:
lim (delta f)/(delta x) = uendelig - uendelig
delta x -> 0
Det var jo ikke helt det det skulle give, men da man deler alle led med delta x og delta x går mod nul må hvert af ledene vel gå mod uendeligt??? Eller hva?
Håber der er nogen der kan hjælpe mig, for selvom det måske er åbenlyst kan jeg bare ikke se hvor jeg laver en fejl.
På forhånd mange tak for hjælpen
Jeg er kommet lidt i problemer da jeg har fået en opgave der lyder på at jeg skal finde differentialkvotienten f'(x) til f(x)=1/x ved brug af tre trins reglen. Jeg ved at resultatet gerne skulle være noget i retning af f'(x)=1/(x^2). Problemet er så bare at det er ikke det jeg får når jeg prøver at regne den ud vha. tre trins reglen, der må altså være en fejl i mine udregninger og jeg ville blive glad hvis nogen ville fortælle mig hvad den bestod i. Her er min udregning:
1. trin:
delta f = f(x + delta x) - f(x)
<=>
delta f = 1/(x + delta x) - (1/x)
(så mener jeg ikke rigtigt jeg kan komme videre)
2. trin:
(delta f)/(delta x) = (1/(x + delta x) - (1/x))/(delta x)
<=>
(delta f)/(delta x) = /(x * delta x + (delta x)^2) - (1/(x * delta x))
(så mener jeg ligesom heller ikke jeg kan komme videre her)
3. trin:
lim (delta f)/(delta x) = uendelig - uendelig
delta x -> 0
Det var jo ikke helt det det skulle give, men da man deler alle led med delta x og delta x går mod nul må hvert af ledene vel gå mod uendeligt??? Eller hva?
Håber der er nogen der kan hjælpe mig, for selvom det måske er åbenlyst kan jeg bare ikke se hvor jeg laver en fejl.
På forhånd mange tak for hjælpen
Svar #1
13. august 2005 af Kim Svenningsen (Slettet)
Du mangler et minus i dit foreløbige gæt. f'(x) = -1/x^2.
1. trin er korrekt.
2. trin kan omskrives til:
-delta x/(x^2*delta x + x*(delta x)^2).
Forkorter vi delta x ud, giver det:
-1/(x^2 + x* delta x).
For delta x -> 0 får vi:
-1/x^2.
1. trin er korrekt.
2. trin kan omskrives til:
-delta x/(x^2*delta x + x*(delta x)^2).
Forkorter vi delta x ud, giver det:
-1/(x^2 + x* delta x).
For delta x -> 0 får vi:
-1/x^2.
Svar #2
13. august 2005 af Æ-bet-pot-man (Slettet)
Beklager, men kan ikke helt se hvordan du foretager den omskrivning.
Hvordan får du:
1/(x * delta x + (delta x)^2) - (1/(x * delta x)) til at være lig -delta x/(x^2*delta x + x*(delta x)^2) ???
Jeg kan forresten se at jeg også havde glemt at skrive et 1-tal over brøkstregen i trin 2 (efter lighedstegnet i omskrivningen)
Hvordan får du:
1/(x * delta x + (delta x)^2) - (1/(x * delta x)) til at være lig -delta x/(x^2*delta x + x*(delta x)^2) ???
Jeg kan forresten se at jeg også havde glemt at skrive et 1-tal over brøkstregen i trin 2 (efter lighedstegnet i omskrivningen)
Svar #3
14. august 2005 af Epsilon (Slettet)
#2: I Kims fravær kan jeg vist godt give en hjælpende hånd.
I 2.trin får vi, som du skriver ovenfor:
(delta f)/(delta x) =
(1/(x + delta x) - 1/x)/(delta x) =
1/(x*delta x + (delta x)^2) - 1/(x*delta x)
Herefter danner vi fællesnævner ved at multiplicere den ene brøk med 'x*delta x' og den anden med 'x*delta x + (delta x)^2'. Tjek selv, at da fås
(delta f)/(delta x) =
-(delta x)^2 / (x^2*(delta x)^2 + x*(delta x)^3)
Dividér nu igennem med '(delta x)^2', så får du præcis, hvad Kim skriver i #1.
Bemærk, at alle disse operationer er fuldt tilladelige, idet delta x og x er forskellige fra 0 (f er ikke defineret i x = 0).
Trin 3: Definitionen på differentiabilitet lyder:
"f er differentiabel i x, hvis grænseværdien
lim (delta f)/(delta x)
delta x -> 0
eksisterer (som endeligt tal)."
Du finder i trin 2 et udtryk for differenskvotienten '(delta f)/(delta x)'. Lad nu delta x -> 0 og argumentér for, at grænseværdien ovenfor i dette tilfælde eksisterer og nærmere bestemt er
lim (delta f)/(delta x) = -1/x^2
delta x -> 0
//Singularity
I 2.trin får vi, som du skriver ovenfor:
(delta f)/(delta x) =
(1/(x + delta x) - 1/x)/(delta x) =
1/(x*delta x + (delta x)^2) - 1/(x*delta x)
Herefter danner vi fællesnævner ved at multiplicere den ene brøk med 'x*delta x' og den anden med 'x*delta x + (delta x)^2'. Tjek selv, at da fås
(delta f)/(delta x) =
-(delta x)^2 / (x^2*(delta x)^2 + x*(delta x)^3)
Dividér nu igennem med '(delta x)^2', så får du præcis, hvad Kim skriver i #1.
Bemærk, at alle disse operationer er fuldt tilladelige, idet delta x og x er forskellige fra 0 (f er ikke defineret i x = 0).
Trin 3: Definitionen på differentiabilitet lyder:
"f er differentiabel i x, hvis grænseværdien
lim (delta f)/(delta x)
delta x -> 0
eksisterer (som endeligt tal)."
Du finder i trin 2 et udtryk for differenskvotienten '(delta f)/(delta x)'. Lad nu delta x -> 0 og argumentér for, at grænseværdien ovenfor i dette tilfælde eksisterer og nærmere bestemt er
lim (delta f)/(delta x) = -1/x^2
delta x -> 0
//Singularity
Skriv et svar til: Differentiering af f(x)=1/x
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.