Matematik
Differentiabilitet
En kontinuert funktion f, er defineret for x ≤ x0 (men x måtte gerne være > x0 , men er det ikke her). .
En anden kontinuert funktion g, er defineret for x ≥ x0 .
Endvidere gælder: f(x0) = g(x0) og f ' (x0) = g ' (x0)
Da tangenthældningen er den samme i punktet (x0 ; f(x0)) = (x0 ; g(x0))
er det nærliggende at spørge, om f er differentiabel i x = x0 ?
Spørgsmålet, fordi hvis vi giver f en tilvækst h ud fra x0 går funktionen f over i g.
Svar #1
13. marts 2012 af Andersen11 (Slettet)
Da funktionen f(x) kun er defineret for x ≤ x0 , er f(x) ikke differentiabel i x0 . Tilsvarende er funktionen g(x) heller ikke differentiabel i x0 . Funktionen f(x) er differentiabel fra venstre i x0 , da grænseværdien lim(f'(x)) eksisterer for x → x0- , og funktionen g(x) er differentiabel fra højre i x0 , da grænseværdien lim(g'(x)) eksisterer for x → x0+ . Man kan derfor stykke de to funktioner f(x) og g(x) sammen til en funktion h(x), der er differentiabel i x0 :
h(x) = f(x) , for x ≤ x0 ,
h(x) = g(x), for x ≥ x0
Svar #2
13. marts 2012 af OhFortuna (Slettet)
Vi definierer en function
Φ : x→f(x) for x≤x0
: x→g(x) for x≥x0
Fordi f(x0)=g(x0) er Φ veldefinieret, og fordi begge delfunktioner er kontinuert er Φ kontinuert.
Desuden er for x=x0 en differentialkvotient definieret : f'(x0) ( = g'(x0) ), hvis f(x) og g(x) begge to er differentiabele, så er Φ differentiabel. (en kontinuerlig funktion er ikke altid differentiabel !)
man kan også sige Φ'venstre (x0)= lim(h→0 (h<0)) [Φ(x0+h) - Φ(x0)]/h = f'(x0) og
Φ'hojre(x0) = lim(h→0 (h>0)) [Φ(x0+h) - Φ(x0)]/h = g'(x0) og fordi f'(x0)=g'(x0); så
Φ'venstre(x0)=Φ'hojre(x0).
Skriv et svar til: Differentiabilitet
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.