Matematik
Røringspunktet Q
Jeg er klar over at tråden tidligere har været oppe, - dog er spørgsmål b ikke behandlet.
En kugle i et koordinatsystem i rummet har centrum C(0,0,5), og punktet P(2,-1.3) ligger på kuglen.
a) Bestem en ligning for kuglen, og bestem en ligning for kuglens tangentplan i P.
x2+y2+(z-5)2= 9 og 2x-y-2z+1 = 0
b) Bestem koordinatsættet til røringspunktet Q mellem kuglen og α | α: 3x+6y-6z = 0
Min egen fremgangsmåde:
CQ=(3,6,-6) er normalvektor til planen, ergo må Q-C = CQ så må der vel også gælde at [ (x,y,z)-(0,0,5) = (3,6,-6) ] ?
Jeg får da at Q = (3,6,-1) - Ved indsættelse i både kuglens, og tangentplanens ligning, bliver der forkert.
Hvad gør jeg galt ?
Svar #1
17. marts 2012 af peter lind
Der er 2 fejl i din fremgangsmåde. Den ene er at du skal normere normalvektoren til at have samme længde som radius her 3. altså QC = 3*n/|n|. Det andet er at den resulterende vektor skal pege i den rigtige retning. (jeg har ikke undersøgt om den gør det) Hvis den ikke gør det vil du finde et punkt, der er diametralt modsat det søgte. Det kan du teste på samme måde som du meget fornuftigt har gjort med din løsning
Svar #2
17. marts 2012 af mathon
CQ = k·n
|CQ| = |k|·|n|
3 = |k|·√((3)2+(6)2+(-6)2) = |k|·9
|k| = (1/3)
k = ±(1/3)
dvs
enten gælder
CQ = (1/3)·[3,6,-6] = [1,2,-2] = OQ - OC
OQ = [1,2,-2] - [0,0,5] = [1,2,-7]
Q = (1,2,-7)
eller
CQ = -(1/3)·[3,6,-6] = [-1,-2,2]
OQ = [-1,-2,2] - [0,0,5] = [-1,-2,-3]
Q = (-1,-2,-3)
da et punkt har samme koordinater som sin stedvektor
Svar #3
17. marts 2012 af mathon
rettelse regnetegnsfejl
enten gælder
CQ = (1/3)·[3,6,-6] = [1,2,-2] = OQ - OC
OQ = [1,2,-2] + [0,0,5] = [1,2,3]
Q = (1,2,3)
eller
CQ = -(1/3)·[3,6,-6] = [-1,-2,2]
OQ = [-1,-2,2] + [0,0,5] = [-1,-2,7]
Q = (-1,-2,7)
da et punkt har samme koordinater som sin stedvektor
Svar #4
18. marts 2012 af Andreww (Slettet)
Tak for de gode input. Jeg løste den dog på en anden måde, - en lidt mere besværlig. Jeg brugte at QC gennemløber linien (x,y,z) = (0,0,5) + t·(3,6,-6) og indsatte mine værdier i ∝, og løste ligningen med hensyn til t.
Nu kan jeg på begge måder, super!
God weekend.
Skriv et svar til: Røringspunktet Q
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.