Punktmængde

1) bestem arealet af M:

         a. find skæringspunkter mellem f(x) og g(x)

         b. find ud af, om f(x) > g(x) eller omvendt i intervallet mellem skæringspunkterne

         c. arealet M findes ved at trække det mindste integral fra det største afgrænset af skæringspunkterne.

2) Bestem de værdier af b, for hvilke linjen med ligning y=b skærer grafen for f i netop to punkter

        a. start med at tegne grafen for f, så du kan se, hvordan den ser ud

        b. herfra kan du se, at der er kun to løsninger, netop der hvor grafen har lok. maximum eller lok. minimum

        c. find hvad b skal være, ved at finde disse ekstremumpunkter vha. differentialregning

   til bestemmelse af skæringspunkterne
   i 1. kvadrant har du
                                                               f(x) = g(x)

                                            (1/3)x³ - 4x + 6  =   -x + 6

                                            (1/3)x³ - 3x = 0

                                            (1/3)x·(x² - 9) = 0

                                            (1/3)·x·(x² - 3²) = 0

                                            (1/3)·x·(x + 3)·(x - 3) = 0   og   x ≥ 0

 

Nu har jeg bestem skærings punkter ved at sætte f(x)=g(x)

Det giver resultaterne x=0 v x=3

Hvad skal jeg så gøre? Jeg kan ikke helt forstå det første svar.

udregn

1)

    b) ud fra din graftegning, kan du allerede se, at g(x)>f(x) i intervallet mellem skæringspunkterne, dvs. [0;3]

    c) det mindste intergral er derfor ∫₀³f(x) dx som du skal trække fra det større integral ∫₀³g(x) dx

         dvs. M = ∫₀³g(x) dx - ∫₀³f(x) dx

NB: mit svar #6 i c) kan skrives simplere som angivet i svar #5

så

                              A = ₀∫³ (3x - (1/3)x³)dx = [....]₀³

Godt så, jamen det har jeg jo gjort. Så var jeg på rette spor hele tiden :)

Det giver at arealet er 6.75

Tak for hjælpen

Mht. til den anden del af opgaven

Bestem de værdier af b, for hvilke linjen med ligning y=b skærer grafen for f i netop to punkter

Der har jeg løst ligningen f'(x)=0, og derved fundet det lokale ekstremum og minimum.

Skal jeg så finde en tangent, eller hvad?

                           f '(x) = x² - 4 = x² - 2² = (x+2)(x-2)

                           f '(x_o) = 0 = (x_o+2)(x_o-2)

                                 x_o = -2   v   x_o = 2

                                y = b = f(-2) = (34/3)   v   y = b = f(2) = (2/3)