Finde et røringspunkt

Tværvektoren til n er en retningsvektor for tangenten. Benyt denne retningsvektor til at bestemme tangentens hældningskoefficient a , og find så røringspunktets x-koordinat ved at løse ligningen f '(x) = a , hvor f(x) er parabelens forskrift.

[x ; y] = [x₀ ; y₀] + t·n^

x = x₀ + t·(-1/3)  ⇔  t = 3·(x₀ - x)

y = y₀ + t·(2/3) = y₀ -2(x -x₀) ⇔ y - y₀ = -2(x - x₀)

dvs a = -2

f'(x) = -2 ⇒ x = 1/2        

f(1/2) = 9/4         røringspunkt er (1/2 ; 9/4) ...

men er tangents ligning så: y = -2(x - 1/2) + 9/4 = 13/4 - 2x ?

#2

Ja, hældningskoefficienten er a = -2, og røringspunktets x-koordinat er x = 1/2 . Dermed er opgavens spørgsmål besvaret.

Den fundne tangentligning er også korrekt.

Når vektoren (2 ; 1) er en normalvektor, er vektoren (-1 ; 2) en retningsvektor for tangenten, og derfor er

a = 2/(-1) = -2

#3

What, really? Troede, at opgaven skulle være svært ... Er der ikke en anden måde at regne ud på? Har hørt, at man skulle bruge ax + by = 0 eller noget lign. Men ellers, tak for hjælpen.

#4

Der er da sikkert mange måder at gøre det besværligt på.

Man kan selvfølgelig ud fra normalvektoren n sige, at tangenten må have en ligning af formen

(2/3)x + (1/3)y + c = 0

og så bestemme c, så at linien har netop eet skæringspunkt med parabelen y = 3x² - 5x + 4 , dvs. ligningen

(2/3)x + (1/3)·(3x² - 5x + 4) + c = 0

skal have diskriminant d = 0 . Ligningen reduceres til

x² -x + (c + (4/3)) = 0 ,

hvorfor der skal gælde

d = 1 - 4·(c + (4/3)) = -(13/3) - 4c = 0 , eller

c = -13/12 ,

der så indsættes i tangentens ligning

(2/3)x + (1/3)y -(13/12) = 0 , eller

2x + y -(13/4) = 0 .

En ulempe ved denne fremgangsmåde er, at man ikke først får bestemt røringspunktets x-koordinat, som er opgavens egentlige spørgsmål. Men når d = 0, er c + (4/3) = 1/4 , hvorfor ligningen for x-koordinaten til røringspunktet er

x² -x + (1/4) = (x - (1/2))² = 0