Matematik
arealfunktion
Har lidt svært ved at bevise dette, ved at man bruger tretrinsreglen.
opgave:
Sætning:
Hvis er en kontinuert funktion, der er positiv i intervallet [a;b] så er arealfunktionen fra a til x i dette interval en af stamfunktionerne til .
b) Giv et bevis for sætningen med egne ord i det tilfælde hvor er voksende.
Svar #1
28. marts 2012 af mathon
Hvis en kontinuert funktion, f(x), er positiv i intervallet [a;b], så er arealet mellem x-aksen og grafen for f(x) i intervallet [a;x] ⊂ [a;b]
A(x) = a∫xf(x) dx = F(x) - F(a) = stamfunktionsdifferencen uandet stamfunktionen,
da integrationskonstanten reduceres bort
Svar #2
28. marts 2012 af Singlefyren (Slettet)
Geometrisk bevis:
Deler f(x) op i mange uendelige små stykker, se tegning.
Zoomer ind på et minimalt udsnit af f(x)
Da det er minimalt kan kurven approximeres til en ret linje.
Areal af det lille udsnit under kurven = bredde * højde (i midten), dvs...
dA = dx (="bredden") * f(x + 0.5dx) (="højden som er funktionsværden af f(x+0.5dx)")
integraltegn på begge sider af lighedstegn...
∫ dA = ∫ dx * f(x + 0.5dx)
∫ dA = ∫ f(x + 0.5dx) dx
A = ∫ f(x) + 0.5dx) dx (*)
for dx --> 0 , går (f(x) + 0.5dx) mod f(x)
insættes dette i (*) ovenfor får vi
A = ∫ f(x) dx , for dx gående mod uendelig lille
Hvilket skulle vises :D
Svar #3
29. marts 2012 af mathon
#1
Hvis en kontinuert funktion, f(x), er positiv i intervallet [a;b], så er arealet mellem x-aksen og grafen for f(x) i intervallet [a;x] ⊂ [a;b]
A(x) = a∫xf(x) dx = F(x) - F(a) = stamfunktionsdifferencen uanset stamfunktionen,
da integrationskonstanten reduceres bort
Skriv et svar til: arealfunktion
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.