Matematik
differentialligning
Se vedhæftede opgave. Jeg har nogle problemer, med at forstå, hvordan man kommer frem til det rigtige resultat.
Lad mig vise, hvor langt jeg er kommet, og så kan I derfra forklare mig, hvordan kommer frem til det fourierintegral, som jeg ikke forstår.
Vi får ved separation:
X'' = -a2X
T' = -ka2T
Så det giver løsningerne (hvor vi dropper den positive exponentialfunktion):
X = A cos(ax) + Bsin(ax)
T = Cexp(-ka2t)
Nu er det klart at randbetingelsen v(0,t) = 0 må betyde, at A=0. Så vores løsning bliver indtil videre:
v(x,t) = B'sin(ax)exp(-ka2)
Men i min vejledende besvarelse er den generelle løsning angivet som et fourier integral, og det forstår jeg ikke. Jeg forstår i det hele taget ikke hintet med, at a er et kontinuert parameter.
Jeg har tit set superposition af løsninger ved en sum, fordi randbetingelserne gjorde det nødvendigt. Havde man f.eks. v(b,0) = 0
Ville man have ba = nπ => a = nπ/b
og dermed den generelle løsning:
v(x,t) = ΣB'sin(nπ/b)exp(-ka2) , hvor summen er fra n=1 til uendelig, dvs. en fourierrække.
Er det, det samme som er på spil her, eller hvordan i alverden opstår det fourierintegral?
Svar #1
08. april 2012 af Andersen11 (Slettet)
I opgaven betragtes diffusionsligningen, dvs. den partielle differentialligning i funktionen u(x,t)
κ·∂2u/∂x2 = ∂u/∂t, t > 0 , 0 ≤ x ≤ L
med randbetingelsen u(0,t) = u0 for t > 0 , og u(x,0) = 0, der beskriver temperaturfordelingen u(x,t) i en metalstang af længden L til tider t > 0 . Man forsøger her med funktioner af typen u(x,t) = X(x)·T(t) , der indsat i differentialligningen giver
κ·X''(x)·T(t) = X(x)·T'(t) ,
der kan separeres til
X''(x) / X(x) = (1/κ)·T'(t) / T(t) = b
hvor konstanten b ikke kan båndlægges ud fra rand- og begyndelsesbetingelserne og derfor må tillægges en kontinuert karakter.
Svar #2
08. april 2012 af Mathematica (Slettet)
hmm ja, I see. Det er selvfølgelig rigtigt at separationskonstanten ikke båndlægges af randbetingelserne. Men jeg synes stadig det er lidt underligt, at man omformer ens sum til et kontinuert integral. Integralet har jo slet ikke samme "enhed" som summen, idet man ganger med db.
Skriv et svar til: differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.