Ligning

Man kan benytte l'Hôpital's regel til at vise, at

lim_x→0 [(e^x -1)/x] = 1

#0 ligningen har ingen løsning.

idet

(e^x - 1)/x = 1 ⇔ x≠0

  e^x - 1 - x = 0 sammenholdt med #1 skal løsningen være x=0

#1

Tak for svaret.

Da jeg skulle bevise differentialkvotient af exponentialfunktion f(x) = e^x , hvor jeg ikke har lyst til at benytte andre former af regler end tretrinsreglen, og er kun nået til, at

lim_Δx→0 [Δy/Δx] = e^x·lim_h→0 [(e^h -1)/h] = ...

hvor jeg forventer, at [(e^h -1)/h] = 1. Jeg definerer, at f(h):= (e^h -1)/h, og vil gerne "prøve" at løse denne ligning, hvor h skal være lig med 0, altså f(h) = f'(0) = 1, endnu tættere på. Men det lykkedes ikke for mig uden hjælp af l'Hôpital's regel. Ved du, hvordan kan man gøre det på en anden måde end at aflæse på grafen eller at sætte 0 ≈ 0.01 eller endnu mindre på h'ets plads?

#2

Ja, definitionmængde for denne funktion lyder således, at x ∈ R \ {0}.

(e^x - 1)/x = 1 ⇔ e^x - 1 = x ⇔ e^x - 1 - x = 0.

    ... eller, hvis jeg forvandler det til nulreglen

e^x·(1 - (1/e^x) - (x/e^x)) = 0

    dvs e^x = 0 ∨ 1 - (1/e^x) - (x/e^x) = 1 + ((1 - x)/e^x) = 0  

   ... hvor den ene siger, at ln(0) ikke eksisterer, mens den anden løsning ... arg, endt cirkulært.

#3

Det simpleste er at indføre den naturlige logaritme som

ln(x) = ₁∫^x (1/t) dt , x > 0 .

Heraf følger, at ln(x) er differentiabel med den afledede

(ln(x))' = 1/x  , x > 0 ,

og da (ln(x))' > 0 for alle x > 0 , følger det, at ln(x) er monotont voksende og derfor har en invers funktion, som vi kalder e^x . Af sætningen for differentiation af den inverse funktion har vi så

(e^x)' = 1/(ln'(e^x)) = 1 / (1 / e^x) = e^x .

Tror også man kan vise det med udgangspunkt i e = lim[m → ∞]  (1 + 1/m) ^m    (men ved ikke om der er nogen definitioner af e kan siges at være "finere" end andre)

her kan man bare sætte m = 1/h når man opstiller differentialkvotienten udtrykt som grænse og lade h → 0.

tror jeg fik det til at virke men kan self have lavet en fejl.

Er der iøvrigt ikke fortegnsfejl i #4 :       1 + ((1 - x)/e^x)

skulle det ikke være 1 + ((-1 - x)/e^x)

ikke at det betyder noget